C'est ainsi qu on parvient à la formule de Taylor

. dr

sans faire usage du Calcul différentiel. L'expression ^î

qui entre dans cette formule, est le signe de Topera tion par laquelle on obtient le coefficient de h dans le développement def[x-\'h)\ dès que ce coefficient est trouvé, les exprès-

cl' Y d^ Y ». 1 *

sions -r^ ? y-^ 9 etc. , nous indiquent que la même opération

répétée nous fera connaître les coefficients des autres puissances de h\ de sorte que nous n'avons besoin que de connaître, par des moyens tirés de l'Algèbre, ce que doit

être ~ pour chaque fonction. Par exemple , si l'on de-

mandait quel est -p* pour la fonction x"*, on développerait (jJ-f-A)"* par la formule du binôme, qui donnerait X"' 4- mx"'^^ A •+-... 5 et comme -?— devrait indicjuer le

' DE LÀ MÉTHODE DE LÀGKÀlVaE. 1^5

coefficient de la première puissance de A, dans ce développement, on aurait -J^ z= mx^'K Ainsi, tout se réduit à

pouvoir trouver, par des procédés analytiques , le développement de? différentes sortes de fonctions que l'Algèbre peut présenter : ces procédés ne sont pas différents de ceux que nous avons fait connaître pour développer les diverses fonctions j^ui, par leur combinaison ^ donnent toutes les autres ; c'est aiiisi que nous avons donné les développements de a'^-* , de log (x-hh), de cos (x-h h) , etc.

252. Voilà donc une troisième méthode, d'après laquelle les principes du Calcul différentiel se trouvent démontrés d'une manière indépendante de toute considération de limites, d infiniment petits, ou de quantités évanouissantes: mais cette méthode ne peut néanmoins exclure celle des limites , parce que lorsqu'on en vient aux applications, et qu'on veut, par exemple , déterminer les volumes , ou les surfaces, rectifier les courbes, ou obtenir les expressions des sous-tangentes, des sous -normales, etc., on est toujours obligé de recourir aux limites ou aux infiniment petits.

253. En considérant les développements des diverses fonctions {x -h h^, a'+*, log {x + h) , sin (x -t- A) , etc., que l'Algèbre nous offre -, comme ces fonctions sont en nombre très-limité , il est facile de reconnaître que , dans leurs développements, le coefficient delà première puissance de h n'est ni nul ni infini, du moins tant que x conserve sa valeur indéterminée; c'est d'ailleurs ce qui résulte de la démonstration précédente. En effet, supposons qu'on eût p = o dans l'équation

/(« H- h) =fx -hph -H çpA» H- rA» -+- . . . ,

il arriverait deux cas : ou la valeur de x, que renferme p^ devrait être donnée par une équation identique, ou par une

équation qui ne le serait pas. Dans ce dernier cas, p = 0 représenterait une équation d'un certain degré, et cette équation ne donnerait qu un nombre limité de valeurs de x, ce qui serait contre l'hypothèse , qui admet pour x une valeur quelconque ; mais si ^ s= o, c'est-à-dire si y a: = 0 était une équation identique en x (*), faisant x = a: -+- A, on aurait encore /'(a: + A) = 05 et comme h entrerait partout où entre a?, celte équation, considérée par rapport à A, serait encore identiquement nulle, ou, en d'autres termes , cette équation aurait lieu quel que soit h ; il en serait donc de même de son développement , qui , d'api:ès l'équation (iSg), est

p^f/ h^p» fii^p'f h^^ ... =0;

mais lorsqu'une équation de ce genre est nulle, indépendamment de h , il faut que les coefficients des différentes puissances de h soient nuls séparément (voyez Note VI), et que, par conséquent, on ait

En substituant ces valeurs dans les équations

p'r=:2,q^ p'* =i^ry p^ = ^s,.,y

qui résultent de l'identité des termes affectés des mêmes puissances de ih, de t* A, de i* A, etc., dans les suites {i55) et (i56), on obtiendrait

^ = 0, rz=o, .( = o,...;

et, comme en outre p =zo, l'équation ( i53) se réduirait à

(^) Le cas où p ne contient pas x est compris dans celui-ci ; car si la valeur de ;? qui est nulle, est représentée par a — a, on peut la considérer comme a — r — (a — jr).

CAS EN DÉÏ-ÀUT DE LÀ FORMULE DE TÀYLOR. I77

Il faadrait donc que a: + A , mis à la place de jc, ne changeât pas la fonction, ce qui exigerait que cette fonction fut identique ou constante ; car on sait que sifx était, par exemple, de cette forme x' — x*, ou de celle-ci, c -h a:' — x", la substitution de Jc -|- A à la place de x donnerait toujours le même résultat ; et l'on voit que , dans le premier cas , la fonction serait identique, et, dans le second, se réduirait à une constante c. Il suit de ce qui précède , que le coefficient de la première puissance de h ne peut être nul dans le développement général def(x-hh).

H ne serait pas moins absurde de supposer ce coefficient infini, car le second membre de Féquation (i53) devenant infini , le premier membre le serait aussi , c'est-à-dire qu'on aurait f[x -f- A) =: oo 5 et comme f.{x -{- A) est composé en (x-f-A), comme fx Test en a:, le terme qui , dans y*(a: -4- A) , rendrait cette expression infinie, devrait rendre

aussi infini fx, Par exemple, sïj'[x-hh) renfermait un

terme tel que . 7- ^> qui est infini, il est évi-

dent qu'on devrait avoir dans fx le terme ? qui

serait aussi infini. Il suit de là que la fonction proposée serait infinie, ce que nous ne supposons pas.

254. Les expressions y*'x, f^^^f^^f eic.^ sont ce que Lagrange appelle la. fonction prime ^ la fonction seconde ^ la fonction tierce ^ etc., defx^ et en général en sont les

fonctions dérivées. Lagrange indique aussi les fonctions

dr dérivées d'une autre manière, en remplaçant -r— parj^',

-7-^ par j", -|-^ pary'", et ainsi de suite.

Des cas on la formule de Taylor est en défaut.

111^5. En généra] , lorsque dans une fonction de x on met 1: + A à la place de or, la forme de la fonction reste la même, puisque

Ij8 CAI.CUL DIFFÉRENTIEL.

.V + h entre partout où était x; ainsi, lorsque /r renferme un radical, /(j: + h) doit aussi le renfermer : p«ir exemple, si l'on a

y.r le même radical se trouvera dans l'expression

/{x-^/i) = b{x-^-hy-h

Il n'en serait pas toujours de même » si Ton assignait la valeur de Tabscisse x pour l'un des points de la courbe. Par exemple dans

le cas où/r renfermerait un terme tel que. va: — ^ , si l'on donnait à a? la valeur a , on voit que le radical cubique ^x — a s'évanouirait dans /r , tandis que le radical cubique \x ^ h — a, qui devrait entrer d3Lns/{x 4- A), loin de s'évanouir, se réduirait alors à \h. Dans une semblable circonstance, /{x -h h) ne peut se développer suivant les puissances de /* , ce qui se manifeste par les valeurs infinies que prennent les coefficients différentiels :

c'est ainsrqne l'équation y =z\[x — a) nous donne

et Ton voit que x =. a rend ce cgefticient différentiel infini.

âij6. Pour qu*on tombe ainsi sur des quanlitcs infinies, il suffit que la fonction f[a 4- h) étant ordonnée par rapport aux puissances de h , renferme parmi ces puissances un exposant fraction-:

naire n -\ — compris entre les nombres entiers n et /t -f-i ; en

effet, nous aurons dans cette hypothèse

(162) \f{a -4- A) = A-hB/i-+-CA^H-D;*\..-i-M/i«N/i"^^

développement dans lequel un terme qui manquerait serait censé avoir zéro pour coefficient. Cela posé, en regardant a comme va-