CAS EN DÉFAUT DE LA FORMULE DE TAYLOR
rjable, nous trouverons (art. Qi$ et K6)
dA ■" dû ' dA» "" dfl»
DîflërentioDs sucoessivement par rapport à h réquation (162)^
•et représentons, pour abréger, par M', N', P', Q', R', etc., par
M", N", Q", R", etc., ce que deviennent les coefficients M, N, P,
Q, R, etc., nous aurons
"^^^7^ ' = B 4. a C7* -+- 3 D/e» . . . -h M' /i--^ 4- N' h' an
an* f
Remplaçant les premiers membres de ces dernières équations par leurs valeurs tirées des équations (i63) , nous obtiendrons
-h N'A' " VfA"4-Q'A"+'4-R'A«+M-...,
faisant h == o, dans les équations (162) , (164), (i 65), nous aurons pour déterminer les coefficients A, B, C, etc., de l'équation (16?.),
âfy d'/a
Cela posé, d'après Tinspection des équations (164 ) et (i65), on voit que chaq^ie différentiation diminuant n cruiic unité, lors-
l8o CALCUL DIFFÉHENTIEL.
que nous serons arrivés à la «'*"••, les exposants des termes en A",
•en h ', en A""*"', en A""*"', etc., auront pour valeurs n — n,
n — n -\ — 5 n — « + i,/* — 14-2, etc. De sorte qu'en repré-
sentant les coefficients correspondants par M,, par N,, etc., nous
obtiendrons
(,66) '^"'^^j'^?"^^==M,4-^A'H~P,A + Q;A'+R,/^^ + ..M et y à la différentiation suivante, nous trouverons
(•67) dln^r— = N„'^ +P,A'+Q,A4-R>'4-...;
et comme - est moindre que Tunité , l'exposant ~ — i du pre-
mier terme de ce développement pourra s'écrire ainsi : — 11 J •
Alors, en faisant passer h au dénominateur dans le premier terme du second membre, l'équation (167) deviendra
Or, si Ton fait h = o, dans l'équation (166 j, on voit que tous les termes en h s'évanouissent encore , ce qui permet de déterminer M,, d'où dépend le coefficient M du terme MA" de l'équation (162). Il n'en est pas de même si Ton fait A = o dansl'équa-
tion (168) ; car alors le premier se réduisant à — ^ rend la valeur
de — ■ ; vT infinie.
Il en serait de même si nous prenions les coefficients différen-
tiels des ordres suivants, parce que toutes les différentielles suc-
N cessives d'un terme de la forme — contiennent A au dénomina-
teur.
CAS EN DÉFAUT DE LA FORMULE DE TAYLOR. i8i
II résulte de ce théorème, que, lorsqu'on fait x = a, dans le €Îéi>eloppement de { [\-\-\ï)yS*ii existe une puissance fractionnaire de h dans ce développement, et quelle soit comprise entre Us termes affectés de h" et de h""^', on ne pourra déterminer les termes fie la série de Taylor^ que jusqu'à V ordre n inclusivemetH : tous les iiutres termes deviendront infinis,
257- Une fonction de jc représentée par /r étant donnée, si l'on veut déterminer le développement de /"(.r -+- h) y dans l'hypothèse x=.ay il faudra, comme on le sait, calculer les termes de la suite
do: d x' I . 2 '
mais si en faisant ce calcul on trouve que Tun des coefficients différentiels devienne infini dans Thypothèse de x=:a^ oxi ne cherchera plus à obtenir le développement de/'(^ -f- h ) par la série de Taylor; mais voici le procédé qu'il faudra employer. On mettra X -H h à /a place de, x , dans f x ; alors le terme qui contient \ — a au dénominateur, contiendra x — a -f- h, et ne deviendra plus infini lorsqu'on fera x = a, fnais donnera lieu à un terme affecté d'une puissance fractionnaire de h.
2â8. Soit , par exemple ,
fx = 2 a.r — .r' -h a y ar^ — a^ .
en différentiant , on trouve
àr , V ax
d'^r d'y substituant ces valeurs et celles de -r— > de -; — » etc., dans la for-
nulle de Taylor (équation 38, page 87 ), on obtient
_________ F" QJC I
f[x-^h)-=z %ax — x'^-\-a sjx"^ — ^*-f- 1 2(«i— :r)H — ^:=: I A-^-....
L sjx"^ — a"^ I
Or^ quand x =:z a, le terme multiplié par h devient infini; donc co développement n'est plus posî^ible.
l8a CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Dans ce cas , d\'iprès la règle précédente , on mettra x -h h h ]a place de .r dans réqnation
yj: z=.7,ax — x^ -\- a. \x^ — a%.
et Ton trouvera
/(.r -H ^) = 2 aor -h 2 fl// — JT^— 2 xh—h^-\' a^x'-t- 7,xh -+- A'— «%
équation qui , dans l'hypothèse de or = a , devient
f(a -hh)z= a^-- //' -f. a iJt, ah -4- //% ou
développant par la formule du binôme, et représentant, pour abréger, par A, B, C, etc., les coefficients que donne cette formule, on a
V^2fl 4- /i = (2-^ -h /*-)' = A. -+- B/? 4- Ci/r^^- D/z^-h. . . ;.
substituant , on trouve
/[a -h h) = a' — A'-f- rt A V^ -h r^BA v^Â 4- ^C//^ y/X -h
On voit, par cet exemple, qu*en mettant x^ h dans la fonction , et faisant .r =r a, on peut introduire une ou plusieurs puissances fractionnaires de A ; on développe ensuite séparément les termes qui sont susceptibles de rétre, soit par la formule du binôme, soit autrement; et Ton substitue ces termes dans la valeur de/ {a 4- /' ) , ce qui en donne le développement.
2I$9. Lorsque x resUMudéterminé, Lagrange a démontré que le développement de f{x-\- h) ne pouvait contenir des termes affectés d'une puissance fractionnaire de h. En effet, supposons^ que Ton eût
/{x-h h) :=ifx'^ ph 4- 7/i'. . .4- KÎ/Â;,
comme, d'après la théorie des équations, K ^h est susceptible de • jrois valeurs M, N, P, nous aurions ces trois développements
CA3 Efi DÉFAUT DE LA F0RM13LE DE TAYLOU. i83
de/(x-h^),
/ {x -h h) =/x -^ ph -h qh\ . . +M, /(.r-h A) = /r-f.;?A-H7A».. . -HN, /(jK ^ h) =/x -^ ph ^ qhK . . -h P.
Or, fx devaot renfenner les mêmes radicaux que f {x -^ h) (art. 2iS5), il faudrait que/r eût aussi trois valeurs différentes^ Q, R, S; en substituant successivement ces valeurs à la place de /xy on trouverait donc
f{x-^h) =Q -^ph-^tfh\. 4- M,
/(XH-Zl) =Q ^ ph'^qh\..-hV, f[x'\-h) z=R 4-/?A -f- 7/*». . -hM,
f[x-\- h) =:S -^-pk-h qh\ .. 4- N, /(x -f. A) = S H-/^// -+-7/<^ . . 4- P;
de sorte querexpressiony(.r + h) étant développée , aurait neuf valeurs différentes, tandis que non développée , elle n'en pourrait avoir qu'autant que^Ir en comporte, et par conséquent trois dans rhypothèse actuelle ; ainsi Ton ne peut supposer que le développement de y (.r + /i) contienne une puissance fractionnaire de h , sans tomber dans une contradiction.
260. Enfin, il est certain que/(.r -4- A) ne peut admettre dans son développement, un terme affecté d'une puissance négative de h ; car s'il contenait un terme tel que M A'", on aurait
/(x-^ h)^/x -hph -\-q/i\ •^-^^ or, en faisant /< =r o, le premier membre se changerait en/x , et
l84 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
le second, au lieu de se réduire à fx^ deviendrait infini, à cause
du terme — qu'il renferme.
Il en serait de même si le développement contenait un terme affecté du logarithme de A; car si Ton avait, par exemple^ un terme tel que A log A , ce terme, lorsqu'on ferait A ^ o, deviendrait A log o ; or, le logarithme de o étant l'infini négatif, le terme A log h serait alors infini ; d'où il suit que^âr devrait l'être aussi ; ce qui est contré l'hypothèse.
riN DU CALCUL DIFFERENTIEL.
DE
