Soit, par exemple, -— *, nous aurons donc

x" fld.r ^ fljt"*"^' ax'^* a

on I rouvera de même que

3/— — x^ -4- I r^ 3 «r* fdxy/x'=fx'dx = ~ =1^=-^.

264. Observons que lorsque nous différentions a -+- x'", nous trouvons mx"'^^dxj comme si nous n eussions différentié que x^ ; par conséquent il faudra , en intégrant , ajouter une constante à Tintégrale. Ainsi, dans les exemples précédents, nous écrirons

ndx a ^ ^. 3/— 3.1* ^

C*) Ce mot somme, pour déttgner l'intégralo, a été introduit par les anciens géomètres, parce que, d'après la méthode des infiniment petits, ils considéraient une fonction j comme une somme d^accroissements infiniment petits.

Par exemple, on voit que rordonncc étant MP {fig. 72), on a

MP = ab -h a' b' -i- a" b" -^ a'"b'^-h a^^M ,

c'cst-k-dirc que j est égal à la somme dos accroissements infiniment petits représentés chacun par d^.

INTÉGRATION DES Dlf t'ÉRISIfTIELLES MONOMES. 187

265. Cette constante C, qui doit s'évanouir parladifférentîaiîon , est en général arbitraire, à moins que, parla nature du problème, elle ne soit déterminée.

Par exemple , si l'on a l'équation }' :^ rtjt:" — b , qui est celle d'une parabole CBD {fig'^ 73) dont l'origine est en B^ et qu'on en tire djr = 2, axdxj on trouvera, en Intégrant,

(i) j^ sr crx' H- C.

Cette équation peut convenir à une infinité de paraboles. Or, si l'on veut que parmi toutes ces paraboles, CBD, C'B'iy, ^''B'^iy^ etc., la courbe qui a pour équation y = ax* -4- C soit celle d'une parabole qui passe par le point E dont les coordonnées sont

il faudra qu'en faisant x =:i/ -t on ait j^ = o, ce qui

réduira l'équation (t), à

d'où r©n tirera C = — è. Substituant cette valeur dans l'équation (i), on obtiendra

jr = ar^ — b , comme on l'avait avant la différentiation.

266. Lorsque la nature du problème ne détermine pas la constante, on peut disposer de cette constanlc comme dans l'exemple suivant : ayant trouvé que l'intégrale de jif" dx est

nous donnerons à x une valeur déterminée b , et le second membre de cette équation deviendra

l88 CALCUL INTÉGRAL.

C étant arbitraire, nous pouvons déterminer cette eonstante par la condition que l'expression (3) soit nulle ^ ou , ce qui revient au même , par la condition qu'on aitj^ = o lorsque X ^=:bi alors Téquation (2) deviendra

OT -h I

d'où l'on tirera la valeur de C , qui , étant substituée dans l'équation (2) , nous donnera

267, Il n'y a qu'un seul cas qui échappe à la règle de Fart. 262 pour intégrer x'"d jc -, c'est celui où m = — i ; car alors la formule (4) devient

il faudrait donc, dans ce cas, faire usage de la règle de l'art. 83, pour déterminer la vraie valeur de l'intégrale; mais on peut éviter cet inconvénient, en observant que

x~"*dj: = — î et que cette expression — est la différentielle deloga:; par conséquent, nous aurons

— = logj: -h C.

DES DIFFERENTIELLES COMPLEXES DONT L'iNTÉGBATION PEUT S^EFFECTUER