Si Tua des facteurs était la différentielle de Tautre

h une constante près, on pourrait encore intégrer par le

même procédé. Soit, par exemple,

i (5) (a -f- b.T^)^ mxdx.

Comme je vois que la différentielle de a-h&x*, qui esi 2 bxdx , ne diflére de nixdx que par la constante, je fais a -f- bx* = .z , et par conséquent a bxdx = dz , d'où je lire

xdx= -rr; substituant ces valeurs dans Texpression (5),

j'obtiendrai

( a -f bx"^ ) ' mxdx ï= — j z * d z ,

et , en intégrant, il viendra

m rr ^ m ^

f{a -{- bx')'mxdx = —-^z' + C = jt(« -♦- ^J?')' -+- C.

272. La mêm« transformation peut s'appliquer aussi pour rapporter certaines différentielles à des logarithmes : si Ton

avait, par exemple, j—t en faisant a-^bx= z. Ven

' '^ a ~h bx ''

dz déduirais dx-^—v substituant, j'aurais

r dx f I dz T rdz I .

intéguation vkn akcs de cercle. 19 ï

et, en mcUant pour z sa valeur,

-^ = llog(«4-6x) + C.

En opérant de même pour 7-» on trouvera que Tinté-

grale de cette expression est

r- = — T »og (fl — o.v) 4- C.

a — DJr: b

DES DIFFÉBBNTIELLBS QUI S'iHTtCBENT PAB ABCS DE GEBCLE.

273. Soit (Jig, 74) Jt: = CE, le sinus qui a le rayon pour unité et dont l'arc CB est z ; nous avons a: = sîn 2 5 dîffércntiant> il viendra dj: = coszdz; d'où nous tirerons

d 2 = ; d'une autre part , Téquation cos' z -f- sin' z = i

nous donne

cosz = V^ï — sin'z = V'' — -^'i

substituant cette valeur dans celle de d z , on obtiendra

, àx

par conséquent on trouvera, en intégrant.

Pour déterminer la constante, supposons donc que lorsque j: = o, on ait

àx

comme, d'après la^îg^. 74 1 ^^^^ ^9 représenté par CB, est nul en même temps que le sinus Xy l'équation (6) se réduira donc, dans celte hypothèse, à o = C; par con-

<f2 GA.LGUL INTÉi^RÂL .

équent

f* dx . .

(7) / ^ = arc(sin = j:).

274. Si le rayon , au lieu d'être pris pour unité, est égal à a , nommons x' son sinus , nous aurons pour Tare d^un même nombre de degrés

d'où nous tirerons

Substituons cette valeur dans l'équation (7), nous trouverons

/' d ^ ' a /^ Ax' /• Ax'

par conséquent Téquation ( 7 ) deviendra

r àx' r . x'

I ■ , ■ : =: arc I sm = —

J sla^'^x'* \ a

et , si nous appelons x le sinus dont le rayon est a , nous pourrons supprimer l'accent de x dans l'équation précédente , ce qui nous donnera

,Q. r Ax \ / . X

(8) / , = arc sm = -

J sla' — x^ \