I -h ar et en intégrant, on aura
àx
= z-hC :
prenant l'intégrale dans l'hypothèse que cette intégrale s'évanouisse lorsque x = o^ z devient nul, et l'on a
o = C; dono
(ï4) / , 2 = ^'c dont la tang est x.
INTÉGRATION FAR ARCS DE CERCLE. ipS
Si , comme on Ta fait à Tégard du sinus et du cosinus , on passe de l'hypothèse du rayon pris pour unité, à celle
où le rayon est a, en changeant x en -> il faudra mettre
-^ et 1 4- -r = ; — 9 à la place de djr et de i -h JC*
Ainsi, en divisant l'une de ces expressions par l'autre , on
arc ! tang - ) ?
a et, ^1 faisant passer a dans le second membre^
/• da: I / x\
277. Soit X le sinus verse DG (^g. 74) d'un arc DC == r . Le sinus verse et le cosinus, valant ensemble l'unité, nous aurons x -h cos sr = i, et en différentiant^
^x =iàz »[qz,
d'où Ton tire
da?
fl6) ' d« = -:
Or
sin 2 = v^i — cos^ z = y'( I — ces «) ( 1 H- cos «)
= sjx^T. — x) =: \!lx — X*;
substituant c«tte valeur dans l'équation (16), on a
. dx
dz = ?
et en intégrant,
{17) I - = arc ( sinus verse = .r ).
Je n'ajoute point de constante, parce qu'en supposant que l'intégrale s'évanouisse quand x est nul, z est aussi nul.
ig6 CALCUL INTÉGRAL.
se Si l'on fait x = - dans Téqualion préccdenle, on Irou-
vera
— = arc ^ si nus verse ^7. ax — x}
278. Lorsqu'on veut avoir la valeur de l'inlégrale pour une valeur déterminée de x, on opère comme dans Texcmple suivant .
Supposons qu'on demande l'intégrale de ^9 lorsque
a: = 7 ', le rayon étant i , la tangente sera donc 7 ; et comme les Tables des sinus sont construites avec un rayon de 10 milliards de parties, la tangente relative à ce rayon sera 10 milliards de fois plus grande; par conséquent cette tangente vaudra 7X10 milliards.
Le logarithme de la tangente tabulaire aura donc pour expression
log 1 o milliards H- log 7 = 1 o + log 7 =r 10 -t- 0,845098 = 10,845098.
Cherchant ce logarithme dans les Tables des sinus , on verra qu il répond à un arc de
90^96', division décimale y ou de
81® 52', division sexagésimale.
Pour trouver la valeur numérique de cet arc, dans r hypothèse du rayon = 1, nous remarquerons que, dans cette hypothèse, la circonférence = 6,283...^ par conséquent nous aurons
4oo° : 90" 96' : : 6 , 283 ... : arc cherché = 1 ,42 . . . ou
36o° : 81^52' :: 6,283. . . : ârc cherché z=z 1,42
IMTÉGRATION PAR PARTIES. ÎQJ
DE LlNTÉGRATIOBi PAR PARTIES.
279. En prenant la dîflerenlîelle d'un produit de deux variables, par le procédé indiqué art. 14, on trouve
d,uo = ttdp-l- ♦'da;
intégrant et transposant, il vient
(19) fuduz^uif — Jvàu,
C'est à cette formule que l'on rapporte les différentielles que l'on veut intégrer par parties.
280. Par exemple, si l'on ignorait quelle est l'intégrale de jr"'dj:, on ferait 0?'"= m, àx = d^^, et l'on aurait
Substituant ces valeurs dans Téquation (19), on trouverait
f x'" dx -= af"-^^ — f x.mx^-^dx = j:^+' — mfx'"dx; réunissant les intégrales affectées de ^'"dx, on a
{m -h i) f x^dx =: x^-^^;
donc
r x^dxz= — h c.
