INTÉGRATION PAR LES SÉRIES. I
ordonnée par rapport aux exposants a, S, y, etc., on aura
JlLàx =j[kx'^+ hx^ + Cxy -+- D^*^ -h Ex«-f- . . .) «l-^
Ax*-^'(*) Bx^-^' Qxy^' Dx^-^' Ea:«-+-' a + i 64-1 74-1 04-1 8-hi
284. Prenons pour exemple — '■ — 9 qui est la différentielle de log(a+x); on écrira ainsi cette fraction : X djc, et il s'agira d'abord de trouver le développe-
et I X
ment de > ce que Ton fera au moyen de la division \
ou plutôt on le déduira de cette formule facile à retenir,
En effet, si Ton change z en dans cette équation,
on a
multipliant les deux termes du premier membre de cette équation par a, et divisant ensuite toute Téquation par a, on obtient
par couséquent
/àx C (\ X x" x" \ . = l( ^4-- j4-... dx; a -t- X J \^ ^ « ^ /
*) Si l'un des exposants a , 6 , y, etc., était égal à — i, on intégrerait par logarithmes le terme qui en serait affecté.
(** ) On a trouvé ce développcmcut en effectuant la division de j par i— ««
200 CÀLCL'L TMTÉGRAL.
et, en intégrant chaque terme en particulier, on obtiendra,
, ^x r dx X x^ a^ jr* ^
et, en remplaçant le premier membre de cette équation par log {a-h x)^ intégrale trouvée en faisant i = i , dans la formule de Vart. 272, on aura
Pour déterminer la constante , nous remarquerons que lorsque a: = o , celte équation se réduit à loga = o -f- C ; substituant cette valeur de C , Féquaticm (24) deviendra
28S. Pour second exemple , cherchons à intégrer par
dx
les séries — ■ : en écrivant ainsi cette différentielle
Xdo:, il s'agira de trouver le développement de
5» Pour cela , en comparant cette expression à
(*) Observons qu^en déterminant ainsi la constante, on ne la regarde plus comme arbitraire, puisqu'elle est nécessairement égale au logarithme de a, quand on fait x = o, dans Tcquation (24). Là où cette constante a
/• dx 9 nous avons mis a-hx
log(a -+-x) : eti ejffet, Féquation(23] nous montre quô ^ est, en général,
la différentielle de C H r -r- etc.: or la suite log a-\ -+- etc.,
qui est le développement de Iog(a+x), est un. cas particulier de la suite
précédente; c'est celui où C = log a. Ainsi, lorsqu'on a mis 1og(a-»- x) à la
dx
1 c'est donc comme si Ton eût choisi parmi toutes les suites
place de / -
dx qui sont l'intégrale de -, celle où la constante est égale à log a.
Cette remarque peut s'appliquer aux autres expressions que nous allon», intégrer par les séries.
INTÉGllÂTIOU PAU LES SÉRIES. 20I
nous aurons r = — x*\ substituant cette valeur dans Téquation (21), nous trouverons
donc
on plutôt (art. 276)
( 26) arc (tang = x) = x — i-^-i — -+-..-f-C....
Quand a: = o, l'axe devenant nul , on a C = o.
286. Si la tangente est plus grande que l'unité , les termes de cette série allant en augmentant, on ne pourra donner une valeur approchée de l'arc ; .dans ce cas , on obtiendra
une série descendante en opérant ainsi : on fera J? = - dans
l'équation (^S) , ce qui la changera en
iH--.
1 x^ .r' ûr*
ar'
multipliant les deux termes du premier membre par x*, ou aura
