X* III

iîTT = — P-^?-^

divisant toute l'équation par x', on obtiendra

x'-hi X* X* X« X* ^* ^ ^'

donc

J x'-j-i J \j? ^ i«"~"ï* "') ^^ et, en cirectuant l'intégration indiquée^

(27) arc(ung = x)==-i + ^-^^-h...+ C.

(*) On pai'viendrail dirorlemonl au même n'tsultat en divisant i i^x .X- -H I .

a02 CALCUL 1MTÉ6KAL.

Poui* trouver la valeur de la constante , nous ne ferons pas a; = o , car cela rendrait les termes du second membre de Téquation (ay) induis; mais en faisant j; = qo , l'expression arc (tang = x) sera égale au quart de la circonférence, et Téquation (ay) deviendra j circonf.z^o-^C] et en représentant par ^ tt le quart de la circonférence , l'équation (27) nous donnera

arc(tang = a:) = Itt - i 4- 3^ ~ g^ -h. . . . 287. Pour intégrer par les séries

on développera (1 — x*) % par la formule du binôme, de la manière suivante ; on calculera d'abord les coefficients du développement de (i — a:*)'", dans l'hypothèse de /n = — Y , en écrivant pour former ces coeflBcients ,

et, en changeant m en — -j, ces expressions deviendront

Multipliant successivement par — jt par — ^> etc.,

on formera les coeflScients qu'on mettra à la place de A, de B, de G^ etc., dans cette équation

(l--.r') "^= I— . Ax'-f-Ba:« — Cx«-t-. . .,

ce qui donnera

IMTÉGRATIODr PAR LBS SÉRIES. ao5

et en intégrant l'équation

on trouvera

I .r» ï 3 t:* I 3 5 r' (28) arc (sin =^) =x 4-- 3- -h--|-g--h--|-g --+-...:

nous ne mettons pas de constante, parce que lorsque a: = o, l'arc dont le sînus est x s'évanouit.

288. Il y a des cas où, pour déterminer la valeur de la constante, on ne peut faire ni x == o, ûi x = oo . Soit, par exemple»

en posant

et faisant

on trouve

, —7? — rit

d'où l'on conclut, comme dans Part. 887,

àx dar/ i i^ ^ 3 j^ i 3 5^ y/^rZTi '^'^V 2'jp' 2 4-^* 2 4 6 X* et en intégrant, on trouvera

dx II I 3 I I 3 5 ^1

d'une autre part ,

f dx r dx . ^ -^ v^^—

J yjx'^ — i J s/x^—i X -h )/x'—

xdx j