Proposons-nous d'abord d'intégrer ^ : décom

•«7 ~~~~ Cl

posant le dénominateur en ses facteurs, on écrira

n d-T adx

vr-2 — rt'' (.r — a) (.r -j- a) '

et l'on supposera

,o V odx /A B \ j

3i 7 TT -N^ ■< r- M*-^»

A et B sont deux constantes qu'il s'agît de déterminer. Pour cet effet , réduisant le second membre au même dénominateur, on obtiendra

fldx (Ax -h Au -+-Bj: — Ba)dx

Supprimant le diviseur commun [x — a) (x-h-a), et le facteur Ax , il restera

(Sa) fl = Ax -H Aa -4- Bjc — Ba;

et , en ordonnant par rapport à or, on aura

X ayant une valeur indéterminée , ainsi que le suppose (*)

la différentielle proposée, cette équation a lieu, quel que

soit X'^ par conséquent, d'après la méthode des coeflScients

indéterminés (voyez Note VI) , on égalera séparément à zéro

les coefficients des différentes puissances de x\ ou, ce qui

revient au même, on égalera entre eux les termes qui, dans

l'équation (82), contiennent les mêmes puissances de j:, et

l'on aura

A4-B=o, (A — B — i)a=zOy

ces équations donnent

En substituant ces valeurs dans l'équation (3i), on aura

donc

adx \àx \àx

x} — a} X — a X -f ti

(*) En effet, la caracléristique d, qui précède x, annonce que x est considéré comme variable.

et en intégrant, on trouvera

J "^^3 = T K' (^ — «) — T ÏOg («-+-«)-+- G,

et , par conséquent ,

Pour second exemple, prenons la fraction — di: : les

facteurs du dénominateur sont x et a* — x' \ et comme a* — X* se décompose en (a — x)x(a + x)j les facteurs simples du dénominateur sont x^ a — x^ et a-hx^ donc l'expression à intégrer est

X (a — J^) (« H- ^) je fais

jc(<z — a?) (a -f- x) X a — x «H-x' réduisant ces fractions au même dénominateur, il vient a^ + bx^ Ka^ — Aa?» -4- Bax -+- Bx* -f- C«x — Cx*

,^ ,, , — » ^ Tf ■ ---ri __! •

égalant entre eux les coefficients des mêmes puissances de x , on aura

B — A — C = ^, Bfl4-C« = o, Aa» = rt^

La troisième de ces équations nous donne A = a, ce qui réduit la première à B — C = a-f-i,et comme la seconde donne B -h C = o , on obtient en prenant successivement la somme et la différence de ces deux dernières équations , et en divisant par 2 ,

mettant les valeurs de A , de B et de C dans l'équation (33),

on trouve

« ' -f- /y.r ' , nd.T a -\- b , a -^ b .

(i .77 = -H ; ^. (la: ; r Q X \

donc, en intégrant,

a' + 6jr' , , (a+b) ,

= a\o%x—'''^ \\o%[a — x) 4- log(a + x)] + C

== a logx — — ' log (fl — x) (« H- or) -h C

— glogo:— ^''"^^^ log(«= — a:')4-C

= a logo: — (ûf -h è) log v^«' — x' -f- C. 296. Pour troisième exemple, soit -- — j^ c.à.x.

Comme il s'agît d'abord de décomposer le dénominateur en facteurs du premier degré, nous remarquerons que si l'on a une équation de me nie forme, et représentée par z^ — 6z-h8 = o, et qui soit satisfaite par les valeurs z = a et ^ = 4 ? oii sera en droit de conclure qu'elle équivaut au produit (z — 2) {^z — 4) = o. Or, en effectuant la multiplication , on voit que quelque valeur que l'on attribue à z^ le produit sera toujours z^ — 6;: -h 85 donc, lorsqu'au lieu

( * ) Pour prendre l'intégrale de d jt , comme la difTércntiellc de

2 (rt — r)

rt — X est — d j: , il faut écrire

(a -f- h ) et Von voit que l'intégrale sera — î log(rt — r) 4- C.

de z , nous mettrons x , nous aurons encore

(« — a) (x— 4)==^-+-6*"*-8• Par conséquent, quelle que soh la valeur du polynôme

x^ — 6x-H 8, il peut se décomposer en facteurs comme

s^il était égal à zéro.

Ayant donc trouvé que les racines de F équation ....

x^ — 6x-h8 = o sont 2 et 4 > nous écrirons

,,,. 3ar — 5 , Adj: Bd.r

et en supprimant le facteur commun dx, ce que nous aurons toujours soin de faire à l'avenir, nous trouverons, après avoir réduit au même dénominateur,

af^ 6.r -+- 8 " .T' — 6.r -4- 8 '

égalant entre eux les coefficients des mêmes puissances de X [voyez la Note VI), on obtiendra ces équations de condition,

d'où nous tirerons

mettant ces valeurs dan.s l'équation (34)» on trouvera

J.r'— 6j:-+-8 2j.r-— 2 2jx— 4

=: ^log (^-. 4) — A |og(,r - 2) ^ C.