DIFFÉREMTIÀTION DES QUANTITÉS ALGÉBRIQUES
et en multipliant par j:"*, on aura
18. D'où Ton peut conclure cette règle : Lorsqu'une "variable est élev^ée à une puissance m, pour avoir la différentielle ^ il faut ^ 1^ changer V exposant en coefficient; tP affecter la variable d\in exposant moindre (tune unité; 3° multiplier ensuite ce produit par dx.
19. Si l'exposant était fractionnaire ou négatif, la même règle aurait lieu. Pour démontrer ce premier cas , soit
yz=ix^\ en élevant les deux membres à la puissance qr, on aura j^nzij:''^ donc (art. 18) çyf"^ ày = px^^^ dx ^ d'où l'on tire
et comme a:''"* peut se mettre sous la forme — ■ ? el que de même r^~* = —') en substituant ces valeurs, on a
et à cause de x'' =j^'', l'équation précédente se réduit à
dy ^^^Ax\
mettant enfin pour j^ sa valeur, on obtient
dy = ^ — dx;
et en faisant passer le diviseur x eu exposant, on a
dy = - x9 ax^
ce qui est la même chose que la différentielle de y = x^ qu'on aurait obtenue en faisant usage de la règle du n" 18.
Pour démontrer le cas où l'exposant est négatif, soit r= x''f^ ^ ce qui revient k jr = — ; différentiant par la règle des fractions (art. 16), nous aurons
, . xPd .1 — I .dxP
'' xP'X.xP '
et comme l'unité n'a point de différentielle, étant une 'constante (art. 10) , cette expression se réduit à à y = ^^
effectuant la différentiation indiquée (art. 18), on aura
dy = — — — ;— > et en retranchant l'exposant np de
l'exposant^ — i , il vient enfin ày= — px"^"^ àx , ainsi qu'on l'aurait trouvé en faisant usage de la règle du n° 18. Concluons donc que cette règle a lieu, quel que soit l'exposant de Xj c'est-à-dire pour un exposant entier, négatif ou fractionnaire.
SO. On peut parvenir immédiatement à la différentielle de jt" parla considération du binôme, de la manière suivante : faisant .r = .r H- A , dans y = af, on obtient
et en développant par la formule du binôme , on trouve
retranchant de cette équation la précédente, et divisant par h, il reste
Passant à la limite , en faisant A = o , on obtient
•Y- = maf"^ , donc dy = moé^—^ d jt,
dx
et en remettant la valeur de/, on a
d.a:^= mx^"^ dx.
DIFFÉRENTIATION DES QUAMTITÉS ALGÉBRIQUES. l3
21 . Si l'on remplace les radicaux par des exposants fractionnaires, la règle du n° 18 pourra donc servir à différentîer ces sortes de quantités. Par exemple, pour trouver la
différentielle de v^z, on écrira z^ , dont la différentielle sera jz ^ az = — p> ce qui nous apprend que, pouras^oir
la différentielle de la racine carrée d'une quantité variable, il faut diviser la différentielle de cette quantité par le double du radical.
DE LA DIFFÉRENTIATIOn D'CNE SOMME DE FONCTIONS-
22. Pour différentier une quantité qui renferme plusieurs termes, le procédé serait bien long s'il fallait toujours tenir la marche que nous avons suivie, en cherchant d'abord la valeur de y* pour en déduire ensuite celle de
- — 7-=^î et passer à la limite, en faisant h = o. Heureusement que, lorsqu'on sait différentier en particulier chaque terme , on peut suivre une voie plus simple, en vertu d'un théorème qui se réduit à cette proposition : la différentielle d'une somme de fonctions est égale à la somme des diffé^ rentielles de ces fonctions .
Pour le démontrer, soient donc/, F, ç, etc., les signes' indicatifs de ces diverses fonctions dont y se compose, et supposons que nous ayons
dont il faille chercher la différentielle.
Si nous mettons a: -H A à la place de x dans ces fonctions \ comme, par hypothèse, on sait les développer chacune en particulier suivant les puissances de A, nous pourrons représenter le résultat par
y' z=fx -h A A + A7*» 4- . . .
-hF^-+-BA -h B'^'-l-. ..
l4 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
rassemblant les termes multipliés par les mêmes puissances de h 5 et retranchant y^ nous trouverons
passons à la limite,
V^ = A-hB-|-C et clr = Ad-c-|-Bdj:-+-Cd:c.
A, B, C étant les termes qui sont multipliés par la première puissance de h dans les développements de /' [x-h h)^ de F (jT-j-A), etdey (a:-l-A), ilenrésulteque Ador-l-Bdx-f-Cdj: représente la somme des diflérentielles des fonctions proposées.
23. Pour donner une application de ce théorème, supposons qu'on ait à trouver la différentielle de
nous savons, par Part. 10, que la différentielle de ax^ est aà.x^\ et en exécutant, d'après l'art. 18, la différent! ati on indiquée, il vient a.3x*dx; et en mettant le coefficient numérique en dehors, on obtient 3 ax^àx. En agissant de même à Tégard de la constante &', on trouvera que la différentielle de ft'a:'.est 2 b^xàx \ d'un autre côté,
l'art. 21 nous apprend que e* sjx a pour différentielle.
e* — p. Ajoutant donc ces résultats, nous trouverons
2 sjx
d^- rrr 3ûjr»d.r-j-2Ô':ctlj7-+- —'
24. En général, lorsque, dans une expression que l'on veut différenticr, une constante entre comme facteur d'une fonction de x, il fautdiffércntier comme si cette constante n'existait pas , et multiplier ensuite par celte constante.
