Si, au contraire, une constante n'est point affectée
DIFFÉRENTIATION DES QUANTITÉS ALGÉBRIQUES. l5
d'une fonction de x , elle ne fournit , comme nous Pavons vu (art. 10), aucun terme à la différentielle.
DE LA HARIÈRE DE FACILITER LA DIFFÉBENTIATION DES FONCTIONS COMPLIQUÉES» ET D'ÉVITER L'OPÉRATION DE L'ÉLIMINATION, LORS- QUE LA FONCTION ^ N'EST PAS IMMÉDIATEMENT EXPRIMÉE AU MOYEN DE LA VARIABLE x.
26. Quelquefois la fonction j et la variable x ne sont pas données par une même équation. Par exemple, si Ton avait les deux équations'des formes suivantes y =zju , et u = (fx^ le premier moyen qui se présenterait pour obtenir le coefficient différentiel ~- serait d'éliminer u entre
ces deux équations, pour pouvoir y appliquer le procédé de la différentiation 5 mais, sans avoir recours à cette opération préliminaire, on peut obtenir immédiatement le
coefficient différentiel -p- : c'est ce qui va être Tobjet de la
démonstration suivante.
Supposons donc que dans l'équation w = ya:, ou mette x + A à la place de x et qu'alors u devienne u' =^ m -f- A, c'est-à-dire se compose de la fonction primitive et d'un certain accroissement (art. 12) que nous représenterons par A', admettons encore qu'en substituant ensuite u-{-k à la place de u^dans l'équation y ^=^Jn^ la fonction y devienne y' : si, en développant ces fonctions de u et de x par rapport aux puissances de leurs accroissements, la substitution de x -^ li à la place de x dans la fonction u nous donne
u' z=zu'\- qh-^ q' fi" -h ^" ^^ -*- • . • ;
et que la substitution de i£ 4- A à la place de u dans la fonction y nous donne
l6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.
on obtiendra
Multipliant ces équations terme à terme, on aura
I.e premier membre de cette équation peut se réduire; car r accroissement de u étant représenté par A', est donc
égal à v! — u \ par conséquent, au Heu de*^ — j-^ • — - — t
K fi
place de A, Véquation précédente devient
nous pouvons écrire — 7 — \ et en mettant xf — x à la
(il) ~ ^- = {q ■\-'q'h-^q"h'^.,.)[p-^p'k-^p"k'^...),
oc — X
Lorsque h est nul , h s'évanouît aussi (puisque u n'a pris l'accroissement k que parce que x est devenu j: -|- /z) 5 par conséquent , dans le cas où /i = o, qui est celui de la limite, l'équation (ii) se change en .
Pour déterminer y et q^ il faut supposer h et h nuls dans les équations (10), et ces équations donnent
Substituant ces valeurs de p et de q dans Téquation (12), on obtiendra / 3\ djr__dj dw
MANIÈRE DE FACILITER LA DIFrÊRENTlATIOW , ETC. IJ
Ce résultat nous apprend que si Ton a deux équations y =/" et u = (fx, et qu'on en tire les valeurs des coeffi-
cients différentiels ji et ^, il suffira de multiplier ces valeurs entre elles pour avoir celle de -r^-
27. Si l'on a, par exemple, les équations / = 3 m' et w = a:' -4- rtx', on trouvera
dx dx '
donc, en multipliant ces équations terme à terme, on obtiendra
^ = 6u{3x'-^ 2ax)=z6{x^ + ax') (3x^-{-!iax).
28. La formule (i3) est d'un grand usage pour différentîer des quantités compliquées ] donnons-en quelques applications.
1°. Cherchons la différentielle de
cela se réduit à trouver le coefficient différentiel -r^. Pour
dx
cet effet, faisons i -f- j:* = m, alors y = -p==M % et les
équations y=fu et u = (fx (art. 26) sont donc représen-
tées ici par y =z u % et par u = i +\r*.
Différentiani ces équations (art. 18), et divisant la première par dzi, et la seconde par dx^ on trouve
du ^ ^ dx
multipliant ces coefficients différentiels entre eux, on a
dr , ^-1 — X
no CALCUL DIFFÉRENTIEL.
ç étant obtenu par deux différentiations successives, et en divisant chaque fois pardx, nous représenterons cette
cl' V d' Y
opération par -j-— > et nous aurons -7— ^ = ^ ^ de même , en
Cl X Cl ÛL
différentiant de nouveau et en divisant par da', nous au-
rons T-^ = r; ainsi de suite.
dy est la différentielle première de / ; d'j en est la différentielle seconde; d^X ^" ^*' ^^ différentielle troisième ;
