En général , soit

Px«-' -h Qx*-^ . . . + Rx -h S ,

une fraction rationnelle dans laquelle les facteurs du premier degré du dénominateur sont supposés inégaux; on résoudra d'abord Téquation

x«-4-Q'x™-'. . .-hR'x4-S' = o;

et ayant trouvé qu'elle est le produit des facteurs x — fl, X — i, X — c, etc., on écrira

p.r'"^i l Q^->...^^Rj;4 S ABC

En réduisant au même dénominateur le second membre de cette équation, chaque terme du numérateur de l'une des fractions devra être multipliépar le produit des dénominateurs des autres , c'est-à-dire par un polynôme en x de l'ordre m — i ; donc le second membre de cette équation sera un polynôme composé de m termes. Il en résulte que si l'on égale entre eux les coefficients des mêmes puissances de a:, on aura m équations de condition pour déterminer les coefficients A , B, C, etc. Ces coefficients étant connus, on n'aura plus qu'à intégrer une suite de termes tels que

Ad^ Bdr

x — a X — b Tintégrale cherchée sera donc

A log (x — a) H- B log ( jr — ^ ) -4- . . . -+- C.

299. La méthode que nous avons suivie , lorsque les racines du dénominateur sont inégales, ne peut servir, si parmi ces racines, que nous supposerons toujours réelles, il y en a d'égales. En effet, nous avons vu que , dans l'hypothèse des racines inégales, on pouvait écrire

(jr — fl) {x — b) (.r — c) (jc — d) (x — c) A B C D E

si plusieurs de ces racines étaient égales, si , par exemple , on avait a= b = c^ l'équation précédente deviendrait

Par*H A4-B-hC D E

[x — af(x — d)[x — e) .r — a x — d

Alors, en réduisant le second membre au même dénominateur, A -f- B -H C pouvant être considérés comme une setde constante A', on voit que les trois constantes A', D et E ne pourraient suffire pour établir les cinq équations dç

2l6 CALCUL INTÉGRAL.

condition qu'on doit obtenir en égalant entre eux les coefGcients des (nèmes puissances de or.

300. Pour éviter net inconvénient , cherchons à décomposer la fraction

{x — ay (x — fi) (x — e)

en un autre assemblage de fractions, qui, réduites au même dénominateur, puissent la reproduire.

Supposons donc

P^-f-Qr^H A 4-Bar-f.Cx' D E

(.r — ay (x — dj(x — e:) {x — fl)^ x — d x — e

De cette manière , en réduisant le second membre de cette équation au même dénominateur, nous aurons un polynôme en X du quatrième degré, qui renfermera cinq constantes arbitraires : ce qui suffira pour établir l'identité des termes affectés des mêmes puissances de x. Maintenant je vais démontrer que le terme

{x — ay

peut se mettre sous la forme

{x — ay (x — ay (x — a)

A', B', C\ étant des constantes indéterminées. Pour le prouver, soit

X — az=z z;

on a

donc

A 4- Bx -h Cx* __ A 4- B g 4" Cfl' -i- Bz -^ 2 C ga -f- Çg'

[x — ay z^

A-hB«H-Ca^ B4-2C^ C

mettant la valeur de z dans cette équation , on obtiendra

A4-Bj74-Cj:' A -4-Bff -hCa» B + aCfl C

(x — ay [x — aY (x — ay x — a

résultat de la forme prescrite, puisque A', B', C sont des constantes.

Cette démonstration pouvant s'appliquer à une équation d'un degré plus élevé, concluons qu'en général on peut supposer

"H 1 î^ — : H~ ; tz — : • • • H~

{x — aY \^x — fl)"-' {x — fl)"*-* [x — a)

Il résulte de ce qui précède, que pour intégrer l'expression

i! Xr — f- . • . ,

(j: — aY (j? — ^) (-^ — ^)

on écrira

{x — aY (j? — ^) (-îc — c)

{x — af (x^ay (x — a) {x—d) (x — 6')'

réduisant les fractions au même dénominateur, on déterminera les constantes A, A', A", D, E, etc. , par le procédé que nous avons déjà employé, et Ton aura ensuite à trouver les intégrales des expressions suivantes :

Adj: A'dx A'^dx Vax Edx

[x — aY («2? — a y X — a (x — U) [x — «?)'

pour intégrer les deux premières, comme dx est la différentielle de l'expression x — «, renfermée entre les parenthèses, nous supposerons (art. 270) x — rtr=: z^ et nous

aurons