j log ( JT + fl ) + constante

303. On opérera de la même manière si , dans le dénominateur, il y a plusieurs groupes de racines égales. Soit, par exemple ,

a Ax a d

nous supposerons

et, en réduisant au même dénominateur, nous trouve*

rons

(JF— l)2(x-|-l)'

A(x-H)'4-A'(x— i)(jr-4-iV-4-B(^--i)'4-B^(x-hi)(.r>~i)'^

supprimant les dénominateurs et développant les numérateurs, nous trouverons ces équations de condition :

A'-+-B' = o, A+A'-h B — B' = o, 2A — A'— 2B — B' = o, A— A' -h B-hB' = a.

La première de ces équations réduit la troisième à 2 A — 2 B = o , donc A =B •, la seconde réduit la quatrième

à 2A-t-2B = a; de ces équations on conclut A = ^ = B ,

par conséquent la quatrième devient B' — A' = -jfl; cette équation étant combinée avec la première, on trouve

Au moyen des valeurs de ces constantes, la dilTércntielle proposée devient

I r dx (i.r- (l.r (\x "I

4 '^ I (JT — If (.r 4- i)-' "" r — I r-f- i J '

On intégrera les deux premières de ces expressions par les règles des art. 270 et 262, et les autres par logarithmes, et l'on trouvera

304. Avant que d'examiner le cas où le dénominateur contient des racines imaginaires, faisons quelques observations sur ces sortes de quantités; considérons d'abord l'équation

(39) jr^-f-/?a; 4-7 = 0,

et cherchons les conditions nécessaires pour que les racines de cette équation soient imaginaires : en la résolvant, on trouve

La première condition nécessaire pour que cette valeur de X soit imaginaire , est que le dernier terme de l'équation (39) soit positif; car, s'il était négatif, l'expression — q , qui est sous le radical , changerait de signe , et le radical n'aifectant alors que des quantités positives , x ne pourrait être imaginaire. Cette condition étant remplie,

X sera imaginaire, si q surpasse y /?'. L'excès de q sur 7-/?*

étant alors une quantité essentiellement positive, représentons-le par j3*, puisqu'un carré est toujours positif: nous aurons

faisons - = a pour éviter les fractions, cette équation

deviendra

7 = a^-l- fJ';

MÉTHODE DES FUACTIONS KATIOJSNELLES. 2l'i

substituons ces valeurs de p et de </ dans la proposée, nous trouverons

(4o) ^ x'-4-2a.r -h a»-hP'= G.

Cette équation étant résolue, donne

ses deux racines sont donc

-— a-hP\/ — I et — a — p^— i,

ce qui montre que ces racines sont disposées par couples, de telle sorte que Tune étant connue, fait connaître Fautre en changeant le signe de la partie imaginaire.

305. En général , une équation peut avoir plusieurs couples de racines imaginaires, et chaque couple donnera Heu à un facteur du second degré, de la forme

3(K). Quelquefois les racines imaginaires sont égales, au signe près *, c'est ce qui arrive lorsque a = o ; alors l'une

des racines est (3 y— i et l'autre — j3 >) — i , et le facteur (4^) 5 du second degré, se réduit à x* -H- (3*.

307. Pour donner un exemple d'une équation dont les racines sont imaginaires, je prends l'équation

x* — 6«j: h- iOâ^ = 0;

en la résolvant je trouve

jc = 3fl±v^-^fl* = 3a±tfv^ — i;

comparant celte valeur de x avec l'équation (4i) , j'ai

donc, dans \v cas présent, l'équation (4^*) devient

2Sl4 CALCUL INTÉGRAL.