Au reste, quand on a une équation telle que

dont les racines son L imaginaires (^) on peut la comparer immédiatement à la formule [^2) , et Ton a 2 a = 4» donc a' = 4î si Ton retranche 4 ^^ '2, il reste 8 pour (3*, et l'équation proposée peut se mettre sous la forme

Le terme 8 , à la' vérité , n'est pas un carré parfait *, mais alors on le regarde comme celui de ^8,

309. Occupons-nous maintenant de l'intégration des fractions rationnelles dont les dénominateurs renferment des facteurs imaginaires ; et, pour commencer par le cas le plus simple, considérons celui où il n'y a qu'une couple de racines imaginaires dans le dénominateur : supposons, par exemple, qu'après avoir décomposé le dénominateur en ses facteurs, on ait trouvé

(j:^a)(x'-' b). ., [œ^ h) {x^ -^ nax-i- a'' -h 6=») ^ '

on égalera, comme nous Tavons déjà fait (art. 300), cello fraction à cette suite de termes :

Ad.r Bâx Hdx Mj;-hN ,

1 r ... H ; H -T do:,

et ayant détermine les constantes A, 6, . . . , H, M, N, par le procédé que nous avons employé, tous ces termes, hors le dernier, s'intégreront par logaritliraes; à Tégai-d de ce dernier , il s'intégrera de la manière suivante :

On remarquera que a* -f- lax -\- a' étant un carré parfait, le terme à intégrer peut s'écrire ainsi :

(.r-haj-'+ ^'^

(*) On lo reconnaît lorsque le» conditions de Vnrl. 304 sont remplies.

MÉTHODE .DES FHÀCTIOWS BÂTIONS ELLES. Î25

Et, en faisant x 4- a = ^ , il devient

dz;

et y en nommant P la partie constante IN — Ma, il se réduit à

Mz-H P ,

- « -^ dz:

cette expression se décompose en celles-ci*:

Mzdz Pdz

Pour intégrer la première, nous observerons que zdz étant la différentielle de* ^*-}- 6', a un facteur constant près, on peut (art. 271) supposer z*-r- S^ =y, ce qui nous donnera, en différentiant,

zdz = -^:

substituant ces valeurs, nous obtiendrons • 9 dont Tin-

légrale sera

^logj.= ^Iog(z^-f60=-log[(.r4-a)^4-6^]

= — log (.r2 -f- 2 ax 4- «* -h 6^)

= M log(j:*4- 2ax-f-a'+6')'^ = M log s/a?'-h 2 a.r -h a^-h 6^

A l'égard de l'expression — ^ 9 en divisant ses deux termes

par 6*, elle peut se mettre sous cette forme :

dz P T

-arc

226 CALCUL INTÉGIIAL. «

et Ton voit que son intégrale est

/ 2\ N— Ma / .r-ha\

^tang = -j ==__arc(^lang = -^j;

donc , enfin ,

r MX-+-N ,

. . ■ — ^ N—- Ma (^ JîH-a\

= Mlogy.r»-|-2ax-|-a'H-6*H — arc I tang=— g— J •