Prenons pour exemple la fraction — àx : le

dénominateur ayant x — i pour facteur, nous trouverons Vautre facteur par la division, et la fraction proposée pourra se mettre sous la forme

a -^ hx z r—, ' : cl jt:

x*H-a:-f-i étant le produit de deux facteurs imaginaires, ainsi qu'on peut le reconnaître en résolvant l'équation X* H- a: -f- 1 = o , nous écrirons

bx A Mx4-N

[x — i) (d:'-|- j; -4-1) X — I j?*-4-a:-hi

réduisant au même dénominateur et opérant comme nous l'avons indiqué , nous trouverons

nous décomposerons ensuite le facteur x^-hx-i-i en facteurs simples, en le comparant à l'expression ( 4^)5 ce qui nous donnera

et, par conséquent,

MÉTHODE DES FEÀCTIONS RATIUHlifELLES. 112J

substituait ces valeurs et celles de M et de N dans Téquation (43) , qui nous donne la seconde partie de Tintégrale, ei observant que la première est

Adx a '\- b

nous trouverons

log(x — i).

/{a -Jf b.T)àx a-^b («-1-^), r

.r'-f-x-hl

-h' — -j^ikrc\ tang=-^^ -^ | -h C.

«il 1 . Lorsque la fraction aura dans son dénominateur des facteurs imagipaires égaux, elle contiendra un ou plusieurs facteurs du second degré, delà forme (a:*-+-2aar-ha'-f-6*)''T suivant qu^elle renfermera un ou plusieurs groupes de facteurs imaginaires égaux* Le facteur

correspondra à cette suite de termes

H-4-Rjc H'-hK'.r

(.r'4- 2ax-t- at'-l-ê^)'-' x» 4- 2 ajc -+- a*-+- 6^ ■

ayant opéré de même pour les autres groupes de facteurs égaux , on déterminera les constantes

H) K., H) IL) H y JV.y...j Hl y fV| , . . . I

comme précédemment.

On multipliera ensuite par dx^ et il ne s'agira plus que d'intégrer chaque terme séparément, ce que Ton pourra toujours faire lorsqu'on saura intégrer le premier terme de la suite (44) multiplié par d.r, puisque tous les autres sont

2^8 CALCtL INTÉGRAL.

de même forme. Pour cet eflet, nous écrirons ainsi ce leraie :

faisant x -h a = 2 , il deviendra

H — Ka-hKa ,

clz :

et , en nommant M la partie constante H — Ka, on aura à

intégrer

M-hKa

Cette fraction peut se décomposer en ces deux-ci :

Kzdz Mdz

. Pour intégrer la première, comme zd-z est la différentielle de ^* -H 6', à un facteur constant près, nous supposerons z*-i'è*= y (art. 271) , et nous aurons zdz ^= jày^ substituant , on obtiendra

rjs^dz^ r^ dr^^i . ^Kr^

I — /? 2(1—/;) (6='-f-z»}^~' 312. Il nous reste à intégrer — ~- ; ou plutôt

(45) ^i{^'-hz')'-Pdz.

Pour parvenir à cette intégrale (Note \ll)^ nous la déduirons de celle de/(6*-|-z*)''d2, de la manière suivante :

En diminuant Texposant p d'une unité, c'est diviser par 6* -I- 2*5 par conséquent, en multipliant en même temps par la mênie quantité, nous aurons l'équation identique

MÉTHODE DES FRACTIONS BATIOHHELLES. aag

et, en exécutant la multiplication indiquée dans le second membre, il viendra

(8»+ s'}P(ii = e'(e'+î'}p-'dï-(- (S' -(-*'>'-' ï'd»;

intégrant, ou aura

(46)/(e' + «')''d* = e-/[6'+z-)P-dsH-/(3'-,-e')f-*'a6. Des deux intégrales qui sont dans le second membre de cette équation, nous laisserons la première sous le signe qui l'indique; à l'égard de la seconde, nous y appliquerons l'intégration par parties. Pour cela, en multipliant et en divisant par a l'expression (6*-}- 2')''~'^'da, nous l'écrirons ainsi :

asdi;

alors (6' + ii»)''-'azdr sera la différentielle de ^^~^» de sorte que l'expression (47) deviendra

en la comparant à la formule {art. 279)

(le l'intégration par parties , nous ferons

„ = i, . = (il±ilï,

et nous trouverons

Substituant celle valeur à la place du dernier terme de l'équation (ijâ), et mettant les constantes eu dehors du signe d'intégration ,. cette équalîon {^6) deviendra

/(8.+ ,.)i.j, = c./(e.4-vr'.l.

2 fS' + s'y 1

a3o CALCUL IXTÉGKAL.

transposant le dernier ternie dans le premier membre et réduisant, on trouvera

on tire de cette équation

faisant^ — 1 = — p, et par conséquent p = i — p^ on a enJSn

Au moyen de cette formule , on fera dépendre Pint^rale de (6* + -2*)"''ds d'une autre, dans laquelle la valeur numérique de l'exposant, au lieu d'être p^ sera moindre d'une unité ; par la même formule, on fera dépendre ensuite l'intégrale de (6'+ z^)'^P''^dz, de celle de (6* -4- z*)'^P-*>d2, ainsi de suite; de sorte qu'après chaque substitution, Texposant de la partie intégrale diminuant d'une unité, il ne restera plus en dernier lieu qu'à intégrer l'expression

or nous avons vu (art» 276) que l'intégrale de celte expression était

? arc (tang = f j •

On ne cherche pas à faire dépendre l'intégrale

/(6^4-2')-'dz, de celle de /(6»-l- z'iMz, quantité qui se réduit à z : car, si dans la formule (48) on

faisait ^ = i, le terme

2(1— ;;)6'^ ^^ deviendrait infini.

313. Il résulte de cette théorie que l'intégration de toute fraction rationnelle ne dépend que de ces trois sortes de formules :

1°. fx^dx =

/iT7i = '°8(' + ''^'

c'est pourquoi on dit que toute fraction rationnelle peut toujours s'intégrer ou algébriquement, ou par logarithmes, on par arcs de cercle, ou par le concours de ces moyens.

314. Nous terminerons cette théorie par un exemple qui renferme tous les cas : soit donc la fraction rationnelle