RR'R". . SS'. . .TT'. . .UU

dans laquelle on a

R =« — fl,

R' = X — by , ^

} f acteurs réels inégaux;

S' = ( a: — rf)", \ facteurs réels égaux;

T =x'-h2a x-ha' +6^ ,

1^ =: x^ -i- ix' X -^ tt!* '\' 6", } facteurs imaginaires inégaux;

U' = (.r»-h2a^xH-a;-+-6;)*, \ facteurs imaginaires égaux;

a34 CALCUL lAiTÉGRÀL,

Notre but étant d' obtenir, par une transformation , ]es

valeurs de x , de d x et de Va -f- éx 4- x*, en fonction rationnelle d'une nouvelle variable z , nous supposerons

(49) v/a 4- 6jc -H JP* = z -f- X (•) ,

parce qu'en élevant au carré, les termes en x* se détruisant, il nous restera entre ^ et x une équation du premier degré , de laquelle on pourra tirer les valeurs de x et de dx en fonction rationnelle de z. Elevant donc Téquatiou (49) au carré, et supprimant les termes en x*, on obtient

(50) rt -h ^2; = 2 jc» + z-, d'où Ton tire

au moyen de cette valeur, l'équation (49) devient

S a '\- bx -\~ X* = -, h *;

ou , en réduisant au même dénominateur,

. . (^2 — bz-^a)

(Sa) V«-h 6ar-hx» = — i ; -.

Il nous reste à déterminer dx en z : pour cela nous différentierons Téquation (5o), et nous obtiendrons

bàx = 2xd2 -h 22dj; -h nzàz^

d'où nous tirerons

et si on élimine le radical entre l'équation (49) et l'équation (52), on aura

(*) Oh pourrait aussi égaler le radical Sl x — x, puisqu*en élevant les deux membres au carré, les termes en x' s'évanouiraient également.

INTÉGRATION DES FRAeTlOWS IRRÀTlOliKELLES. a35

subslituan-l celte valeur dans Téqualion précédente, on

(6 — 2«)clx= i— : /ds,

(53) dx=-ii£-=l^iif.)d..

317. Prenons pour exemple nous écrirons ainsi cette expression :

en faisant ^== a et g = 4. L'équation (53), divisée par l'équation (62), nous donnera, après avoir réduit,

àx adz

et, en divisant par Téquation (5ï), on aura

dx âds

« V« 4- hx 4- jr= «' — « '

multipliant les dénominateurs par ^C, cette équation deviendra

àx

X V^ \/fl H- 6x -h x' ou

dx 2dz

X v^A H- Bo: -4- Cx' («»— fl) v^C fraction qui s'intègre par la méthode des fractions rationnelles, puisqu'on peut regarder y^C comme une constante ordinaire.

a36 C4LCUL INTÉGRAL.

318. Pour second eicemple , prenons do: \Jnr + o^ : en comparant le radical à celui de la formule (Sa), nous avons a = m', 6 = 0, et en mettant ces valeurs dans 1 équations (Sa) et (53), nous trouverons

donc

dx VW -f- .^' = — ^^ — 7 ^ d 3.

Lorsqu'on aura intégré cette expression rationnelle, on y substituera la valeur de z en x.

319. La méthode précédente ne peut servir quand Cx' est négatif, car en opérant comme ci-dessus, on aurait

et en désignant par a cl & les constantes — et -t on trou-

verait

v/A-H Bx— Cjc' ~ v^C \/a -}- ùx-^ x\

Or, si nous supposions s]a-{-bx — a;' = JC -+- ^ , en élevant au carré les deux membres de celte équation , les termes en x^ ne s'évanouiraient pas, et alors la valeur de x en 2 serait irrationnelle. Pour traiter ce cas, nous remarquerons préli min ai rement que le polynôme a--\-bx — x^ est décomposable en facteurs réels du premier degré (*).

( *) Pour le démontrer, nous écrirons ainsi ce polynôme :

— (x* — hx — n),

pt nous trouverons les facteurs de a-'— hx — a, en égalant ii zéro cello expression , ce (jui nous donnera

INTÉGIUTION DES FRACTIONS IRRATIONJN ELLES. 2X7

Soient a et a' les racines de réqualioii x' — bx — a = o^ nous aurons > d'après les propriétés des équations,

x»-.^ar — « = (or — a) (* — «'), {NoteYUl)

et , par conséquent , en changeant les signes ,

a -^ bx — a;'= — [.t — ol) [x — a') = (a: — a) [a! — x);

substituant cette valeur dans le radical , nous supposerons

celte équation élevée au carré nous donne

[x — a) [oJ — x) = (.r — «)'«';

et ^ en supprimant le facteur commun , on a

d'où l'on tire

donc

et, en réduisant au même dénominateur,

cette, valeur étant mise dans le second membre de l'éijualion (54) ) on obtient

donc, par la propriété des équations (^voyet la A'oie VIII ),

et puisque, par hypothèse, a représente une quantité positive, les facteurs qui composent ce produit ne peuvent être imaginaires. Au reste, sans résoudre l'équation x' — hx — 0 = 0, on peut conclure, d'après 1c sijjne de »oii dernier terme (art. 504), qu'elle a ses racines réelles.

Â regard de d:r, il suffit de différentler Téquation (56) pour en obtenir la valeur en js , et nous trouverons

(58) da- = — l^-^zd..