FORMULES DE IIÉDUCTION DES DIFFÉRENT. BINOMES

de x"*-^dx[a -f- ba:")p, d'une autre dans laquelle l'exposant qui afTecte la parenthèse sera moindre d*une unité.

Si dans cette formule on met ensuite p — i à la place de/;, l'intégrale de .r"-' d^ ( fl -4- bx")P-^ dépendra de celle de

par un même procédé , celle-ci , à son tour^ dépendra de celle de jc^~^ dx {a -\- bx"y~^y et ainsi de suite : de sorte que l'exposant de la parenthèse sera successivement/?, p — ly p — 2,/; — 3,..., p — n, (Par /i, nous représentons le plus grand nombre entier contenu dans p que nous supposons fractionnaire.) Si Ton peut obtenir l'intégrale de af^^ dx (a -f- ^x")/^", on aura celle où l'exposant de a -h bx'^ est plus fort d'une unité, et ainsi de suite, jusqu'à l'intégrale de x"""' dx (a H- ftx")'*, qu'on obtiendra de cette manière, en un nombre limité de termes algébriques. Si p était négatif, l'équation (67 ) donnerait

/x«-' dx {a + bx^y-'

— x"(fl 4- ôx»/+ (/w -f-/>/i)/x'"-'dx(rt 4- bar*)P ^

pna '

faisant p — \'=. p^ on aurait

I/x'»-'dx(û -h bx"y __ — x*(a-h^:c")''^*-h[/wH-(/;-hi)/ï]/^~'dx(rt-h^x«)/'+' ^ • (/?H-i)/îa '

formide dans laquelle , si Ton fait p négatif, l'intégrale proposée dépendra d'une autre dans laquelle l'exposant de la parenthèse sera plus près de zéro d'une unité.

5S8. On peut aussi diminuer l'exposant de x, hors de la pa* renthèse. Pour cet effet, on égalera entre eux les seconds membres des équations (65) et (66), vu que les premiers sont égaux, ce qui donnera

x"* Dïlb (a H- ba^Y — /x«+"-' (a -h ^x»)/^-'dx

;=«/x'"-'dx(rt -f- ^x">-'4- ^/.>c"'-^"-WU(rt -+- bx^y-\

d'où Ton tirera

b 4- ^^ ) /««-+■'—' ( a -+- ^x" )P-' dr-

= {a -h baf'Y afxT-^ d.r (« -f- bx^y-' ,

et> par conséquent,

b [m -\- pn) faisons m -^ n = m, p — 1=/?, cette équation deviendra

IfjC^* dx [a -f- bx^y Ça 4- bx^y-^' jf^ ^[m--n) afx^''-' dx{a-hbx^y b{m -^ pn)

Au moyen de cette formule , l'intégrale dépendra d'une autre dans laquelle la parties?"""', hors de la parenthèse, deviendra a:"-"-'; cette seconde intégrale dépendra à son tour d'une troisième, dans laquelle la partie hors de la parenthèse sera m — in — i : en continuant ainsi, les ]exposantsde x hors de la parenthèse seront successivement m — i , m — n — i , m — un — i, m — 3/ï — !,•••> m — r/z -— i . (Par m , on entend le plus grand multiple renfermé dans m.)

A la dernière de ces opérations , l'exposant de x hors de la parenthèse, dans le second membre de l'équation de. réduction , sera donc m — m — i ; par conséquent x , dans le premier membre de cette équation , aura pour exposant m — (r — \)n — i : ainsi , en faisant m'=.m — (r — i) /i , dans la formule (69), et en représentant par X la partie intégrée , cette formule nous donnera

/ yx«-C'-')'>-i dx [a H- bx^y

^1^) <__ X— [m — ra) a J x^-'"-' dx [a 4- bx^Y

{ 6[/w — [r — \) n -i- pn]

Si rn est égal à w, le coefficient m — m est zéro, ce qui fait évanouir, dans le second membre de l'équation préf^édente, la partie