FORMULES DE RÉDUCTION DES DIFFÉRENT. BINOMES

leurs de

j et de / . > ' -,^

VI — ^' J s/i — x^

si m est un nombre entier pair, la dernière intégrale que l'on obtiendra sera

dx f ' \

= arc ( sm = a: ) ;

si m est un nombre entier impair, cette dernière intégrale sera

xdx

et comme alors xdx est la différentielle de :r% à un facteur constant près, nous ferons i — x^=z Zj ce qui nous donnera

zrz — »*== — ^z = — ^l — x^,

La dernière intégrale étant trouvée , il en résulte que lorsque m sera un nombre entier, la formule pourra toujours s'intégrer.

dx 551. Prenons encore pour exemple t=== : en écrivant

jf V I — x^

ainsi cette expression

i jr-*(i — X*) * dxy

on la comparera à la formule (71) pour diminuer l'exposant hors de la parenthèse , et Ton aura

au moyen de ces valeurs, la formule (71) deviendra

I — m -h [iZL^ fx-'^^'dx (1 — .rM"^,

25o CALCUL INTÉGRAL.

on plutôt

^ / dj: yi — jc'^ m — 2 r dx

dx Si m est un nombre pair, par exemple 8, Tintégrale de

dépendra de celle de —^=. ; celle-ci , en vertu de la même

formule, dépendra à son tour de celle de ^ jusqu'à

m = 2; dans ce dernier cas, la formule (78) donnera

dx ^ i — jc'

de sorte que, par des substitutions successives, on obtient l'intégrale lorsque m est pair.

Dans le cas où m est impair, par exemple 7, en mettant successivement dans la formule (73) à la place de m les valeurs 7, 5, 3, on ne pourra s'arrêter à /n = 1 ; car, dans cette hypothèse, le

coefficient de la seconde intégrale deviendrait = — 00 ;

ainsi, la plus petite valeur que Ton pourra donner à m, sera

m =z 3. Dans cette hypothèse , la formule (73) deviendra

/dx ^i — ar» I r dx a?3 ^i — o:' ~ 2 X' ^ J X v/i — X'

dx 1

Pour intégrer Texpression — ? nous ferons x = -» ce qui

xyi — x' *

nous donnera

dz , i/i

dx = ~ et ^i— x^=:

et , par conséquent ,

d.>r dz

.jc ^ \ ^ X • y/z' —