INTÉGRATION DES FONCTIONS DE SIN. ET DE COS

nous avons trouvé (art. 288), page 2o3,

= îog(j:-|- y/x»— i);

sjx^— I

donc, en changeant x en z, nous aurons

àz

sjz" —

= - (logz-h v'z'— i);

remettant pour z sa valeur -9 on aura

d J7 Ainsi la formule •=== peut s'intégrer, soit qu'on prenne m

pair ou impair.

DE L'INTÉGHATIOII DES QCAlTriTÉS QUI EBHFEBMEHT DES SlllilS ET DBS

COSIEDS.

332. L'intégration des quantités qui renferment des sinus et des cosinus dépendant de la possibilité de développer cos'ar, cos'o:, cos*a?5 etc., en fonction des expressions cosj:, COS2X, cosSa:, etc., nous allons démontrer préliminairement comment on peut y parvenir par la seule Trigonométrie. [Note IX.)

Si dans la formule

{ 74 ) co* (fl -h ^) = cos a cos h — sin a sin b

on fait a = i, on aura

cos a« = cos'û — sin*a = cos'/i — (i — cos'a) = 2 cos'a — i ;

on tire de là

cos'fl =3 y -h I cos 2 a ;

multipliant cette équation par cos a, elle devient ( «^5 ) cos' a 1=: y cos « -h 7 cos a . cos 2 a .

Or, si à réquatioii (74) on ajoule celle-ci :

cos {b — a) = cos a cos ^ -4- sîn a sin à,

on obtiendra

cos a cos à = j cos (« -h A) -4- 7 cos (b — a);

faisant b z=z 'la^ on aura

cosa cos 2 a = 7 cos 80+7 cos a ;

éliminant cos a cos 2 û entre celle équation et Téquation (75), on trouvera

cos* tf = I cos fl -h 7 cos 3 a.

On calculerait par le même procédé les puissances supérieures de cos a.

333. Cela posé, lorsqu'on aura à intégrer l'expression cos'"a:dj:, dans laquelle m est un nombre entier, on mettra pour cos'" a: son développement qui, d'après ce qui précède , ne contiendra que des termes de celle sorte :

constante, cos a:, C0S2:r, cosS.r, cos 4^» , . ,cosmx;

ainsi tout se réduit à savoir intégrer cosmjcda:.

Pour cet effet . nous remarquerons que si dans l'équation

dsinz = cosz.dz,

on fait z = mx , on aura

d sin mx = cos mx .mdx-y donc

.. , sin mx

I cos mx a x =. •

On trouverait de même que

r . j cosmx I %\nmxax=z •

Prenons pour exemple cos' x.dx : mettant pour cos* x sa

INTÉGRATION DES FONCTIONS DE SiN. ET DE COS. 253

valeur 7-4-7 cos 2 x , nous aurons

f cos'^d j: =y (I -h ycos2;r)dâ;=: — h jsin aar-H C.

334. Si Ton youlait intégrer sîn^'xda:, on procéderait d'une manière analogue; ou bien, en représentant par z l'arc complément de a:, on aurait

.r = 7ir — z et dx= — dz, sin x = cos a ;

on changerait donc la formule sin^ar.do:, en celle-ci : — cos^^^dz, et l'on intégrerait comme ci-dessus.

335. Prenons le cas plus général sin'^xcos^xdj; : si m est pair, on fera m = 2/n^, et l'on aura à intégrer

. /sin'"' X cos" j: d j: = ( I — cos' xj^ cos* xàx.

On développera (i — cos'x)*^, et en multipliant par C08\rdjE:, on obtiendra une suite de termes, chacun de la forme cos*;rda:, et l'on intégrera comme ci-dessus; si m est impair, on fera m = 2 w'-H i , et l'on aura

sin" X cos"ard j? = sin*^ x cos*x sin x d j?

= (i — cos* a:)"' cos"j: X — d coso:;

faisant cos a: = z, on changera cette expression en

— (i — «')'»' z»dz;

ni et n étant par hypothèse des entiers , on développera par le binôme et l'on intégrera.