Pour appliquer ce procédé aux expressions
cos"* xAx sin" x d .r
sin"j: cos^x
comme la seconde rentre dans Tautre, en faisant. r= «2,
nous ne considérerons que la première. Si m est pair, nous
a54 CALCUL IKiTÉGRAL.
supposerons m = im\ et nous aurons cos'"j:dx (i — sin^jrY^ .
=: ^ * — (I JP
si 11" X sin" .r
I — m sm'x-f-/w sin*ar-h
sin^x
dx,
expression dont Tintégrale dépendra de celles de sîn a/àx
el do . . ' sin*x
Nous savons intégrer la première (art. 334) , et nous verrons bientôt comment s'intègre la seconde. Si m est impair, en faisant m = 2 m'-f- 1, on aura, par le binôme,
' cos^xd .r (i — sin' xy^ cosord a:
sin^j: sin"a:
, / . , .cosxdjr
= ( l — M Sm' JT -h . . . ) — : y
sm^-r expression dont l'intégrale dépendra de celles de
sin'xcosxdj: et de — r-r — ; nous avons traité de la pre-
sin*.r '^
mière (art. 334) , occupons-nous de la seconde. Pour in té-
d X CO& X grer — :— . — » nous ferons sinT=: zi donc dj:cosa: = dz, ° sin*j:
et, par conséquent,
— — r / -r = fz-''dz= y-i-C.
sm^x J z^ 1 — A-
d X A l'égard de l'intégrale de . ^ ? la même transformation
changera cette expression eu — p== ' formule que nous
savons intégrer (art. 319).
d X 337. Eniin, si l'on a à intégrer — - — r-j- ^ on multi-
pliera cette expression par cos'x -f- sin'.r, quantité qui
JM'ÉdHATlUN DES FONCTIONS DE i
.ivaut à l'unité , et l'on aura
par là on diminuera la somme des exposants du dénominateur; et, en répétant un certain nombre de fois cette opération , et en mettant successivement à part toutes les fractions qui, dans leurs dénominateurs, ne renferment qu'une puissance d'un sinus ou d'un cosinus (parce qu'on sait intégrer ces fractions d'api^s ce qui précède), à la dernière opération , on tombera sur des termes qui pourront encore 1 otitenir des puissances de sinus et de cosinus , ou qui srroiit des formes suivantes :
smx cosx C0S2 smx
Pour intégrer ■; 1 on multipliera le numérateur
par cos'x -f- sin'j::, quantité qui équivaut à l'unité, et l'on aura
dj: , co&x an X dsinj; dcos j:
sin X cos X sin x cos x un x cos .r
expression dont l'intégrale est (art. 207)
log sin* — logcosa;-)- logC:=logC tangj. Pour intégrer -: — . on fera cos x = z, et l'on aura
, __ dz^ AfL~ ti» •!»
~ sinx sinx sin'x i — e''
formule intégrable par la méthode des fractions rationnelles (art, 295), A l'yard de lon supposera sinx^.r, d'où
l'on tirera (art. 44) d.zcosz=:dz; et en divisant par cos' jr, OQ trouvera
intégrant, on obtiendra
/di /• dz cosx^J I — z»
338. En général , on peut toujours transformer les expressions qui contiennent des sinus et des cosinus en d^autrès qui n'en renferment pas : pour cela , il suffit d'égaler siuo; ou cosx à une nouvelle variable z. Par exemple, si dans l'expression sin^^xcos^xda:, on suppose sinx = z, on aura
i , dz
cosar = V' — ^' ®^ d.g = -y ]
yi—Tz»
substituant, on trouvera
sin'"a:cos''a'dj:= z'"(i — 2^)'(i — z')*dz = z'"(i — z*) * dz,
expression qui se rapporte aux différentielles binômes.
On peut aussi appliquer immédiatement l'intégration par parties à l'expression (*) sin'"a: cos"j:da:.
339. Enfin, les formules trigonométriques peuvent être aussi employées avec avantage dans de certains cas. Pour intégrer, par exemple, sinnix cosnxdx] comme la Trigonométrie nous donne
sin a CCS ^ = j sin (a -+- 6) -h \ sin (« — b) ,
en comparant l'expression sinmxcos/ïo: à celte formule, on trouvera
sin/7?jrcos/rjrdj7 = Ysin[(m-|- /i)a:]d.r -+- |sin[(/7t ^— n)x\djCy
et l'intégrale sera (art. 333)
, ces [{m -^ n)x] j ces [{m — n) x]
{*) Pour la conaparor à «dp (art. 279), équation (19), on la décomposera ainsi :
sin'"~"'j:.cos'*xsinj:dj: = — 8in'"""'j:.d cos""*"'*.
INTÉGRATION DES QUANT. EXPONENT. ET lOG. 2^y DE L'IUTÉGRATION DB§ quantités BXPOUENTIELLBS et LOCAMTHMIQimS.
340. 11 a été démontré (art. 37), équation ('a5), qu'en prenant les logarithmes dans le système népérien, on avait d û*' = rt' d a: log « ; donc , réciproquement,
fa* d ,r =
logfl
Ceci peut nous servir pour intégrer l'expression générale a'Xdx, dans laquelle X est une fonction de x. Pour cet eifet, nous écrirons ainsi cette expression : X. a"' do:; et en intégrant par parties (art. 279) nous aurons
(76) /x.«'d.r=^ ~ fr^àX.
" ' ^ log rt J log a
Cela posé, en difTérentiant successivement la fonction X, nous en tirerons dX = X' d j: , d X' = X'M.r , etc. ; donc
r~dX ou f-^.a'da:=j^^~a'^ f^L^^dX'; J logfl J log« (log«)' J (\ogay
substituant cette valeur à la place du dernier terme de l'équation (76) , nous obtiendrons
•^ log a (log ay J (log ay
En continuant d'opérer de la sorte, nous parviendrons à ce développement
\ ^ -h ^ I ^ (iog«)"-^'
\ (logfl)^ (logflr/
Si , en prenant la suite des coefficients différentiels X', X'', X''',..., X^"^, le dernier de ces coefficients est constant, on aura dX^"^ = 0, et alors la partie intégrale s'évanouira.
