Prenons pour exemple X = .r*^, d'où l'on déduit

X'==3jc% X"=2.3.x, X'" ou X(«)=3.2;

258 CALCliJ. IJNTÉGUAL.

donc

Si l'on fait a égal au nombre e, qui est la base du système népérien, log a devient log e\ or loge = i, en vertu de l'équation e = e^°^**, par conséquent,

342. On peut encore parvenir à un autre développement de /a*.Xdj?. Pour cela faisons /Xdj: = P, /Pdx = Q, fQdx = R, etc., et intégrons par parties (art. 279), nous aurons

(77) /«'.Xdjpzrza'P — /«*log«.Pda?,

ya*log«.Pdj? = a*logflr.Q — y fl*(logfl)*Qd«;

et en substituant^ l'équation (77) deviendra

/«».X d.r = fl* P — a' log « .Q 4- /«* (loga)^ Qdx.

En continuant d'intégrer par parties, on aura en général

/«'Xdx = û*[P — Q loga -♦- R (log a)' — • • ]

±/Zfl'(logû)"dj:.

343. Si Ton applique cette formule au cas où X = — , on trouvera

donc

/a'^dx ^r 1 log a log «2 1 log«' Pa'd

L'intégrale de est une fonction transcendante qu'on

n'a pu déterminer jusqu'à ce jour.