Si dans Téquation

— =rdlogM, ou plutôt dtf = «dlogUy

on fait u = x^ y on aura

d x^ = j:-^ d log j^ ;

ainsi, toutes les fois qu'on pourra décomposer une différentielle en deux valeurs dont Tune soit représentée par x"^ , et l'autre par d log x^^^ l'intégrale sera x^ -\-C,

346. L'intégration par parties peut aussi s'appliquer k celle de l'expression Hà x {loga:)"; car, si l'on représente par X^ l'intégrale de Xdjc, on aura

/Xdx(logx)'«=X,(log«)« — /t r^d.r(logx)''-'.

On fera dépendre à son tour celte dernière intégrale d'une autre, de la forme JX^dx (logjc)""', et ainsi de suite.

DE LA 8ÉRIB DE JEAN BEBNODLLI.

347. Nous avons vu que beaucoup d'expressions différentielles n'étaient intégrables qu'après avoir été réduites en séries, et que, pour cet effet, en désignant par Xd J? une différentielle dans laquelle X est une fonction quelconque de T, il fallai t préliminairement réduire en série la fonction qui est représentée par X, et intégrer ensuite après avoir substitué ce développement dans la formule X d j:.

La série de BernouUi a l'avantage de réduire yXdxen série ^ avant même que Ton ait donné la forme de X ; cette série est dans le Calcul intégral ce que celle de Taylor est dans le Calcul différentiel. Voici de quelle manière on la démontre. Cbercbant d'abord à intégrer Xdo? par parties (art. 279), on comparera flLdx au premier terme de la formule

J II dv =. uv — f vàuj et Ton aura

par conséquent l'intégration par parties s'effectuera en écrivant

(78) /Xdx = X^ — /:cdX;

l'intégrale se prenant par rapport à la variable x, nous avons

par conséquent

dX ^ • xa.r.

fxdX=J'

Intégrant encore par parties, u sera représenté, dans ce