DE LA QUADHATURE DES COURBES

cas , par - — et cl ^^ par xax ^ de sorte que nous aurons

^^ = — 5 et nous trouverons

AIX dX x' Çx^ d'X

J àx da? 2 j n àx

ou , en mettant la fraction \ hors du signe d'intégration ,

/ X r«*x , dx x^ , r d»X

d'X d'X remplaçant -r— par-r— ^ dx et opérant de même, nous ob-

tiendrons

J àx J dx^ * dx* V àx'

et ainsi de suite.

Substituant la valeur du premier membre de Téquatîon (79) dans Téquation (78), et portant ensuite dans le résultat celle du premier membre de Féquation (80), nous obtiendrons

IlLax = Xx — . -h -T — - • — . . . -f- eonst,

•^ axi.2 dx' 1.2.3

DE LA QUADBATinU DU COOUIBfl.

348. Soit s (fig. 75) Taire ABMP d'une courbe plane ^ si l'abscisse AP = x devient AP' = j: -f- /«, Faire s deviendra

as à^s h}

aire ABM' P' = J-+-i--^-+--r-, — -h

a.T dx' 2

on aura donc

as à* s h^

aire mixtiiigrie PMN'P' = t— A 4- -j--— -f- . . . ; ** d.r dx' 2

cette aire est comprise entre les deux rectangles PM' et

262 CALCUL I^iTéGRAL.

P'M , dont il est facile d'avoir les expressions analytiques :

le rectangle V}\' =z P'M' X PP' =/(x -+- A).A, le rectangle P'M = PM X PP' =/c . ^ [fig- 76 ) i

le rapport de ces rectangles est

fx,h fx

dans le cas de la|[limite, ce rapport se réduit à

fx

Or la surface mîxtiligne PMM'P', étant comprise entre les

deux rectangles , diffère moins du rectangle F' M que le rec-

PM' tangle PM^ \ donc , si dans le cas de la limite on a :-f^ = i ,

à plus forte raison l'unité sera la limite du rapport

aire PMM'P^ rectangle ^JA

En remplaçant les termes de ces rapports par leurs expressions analytiques, on aura

d^ d'fA' d* dVA

i\x d** 2 Ax djc*2

fx . h fx '

on passera à la limite en faisant h=:o ^ et Ton trouvera

% — 7-= I» d'où d5 ^=ifx,Ax\ et en mettant pour fx sa

U X TX

valeur, on aura

(81) dfsrr/dx.

349. On peut aussi déterminer la différentielle de Taire d'une courbe , par la méthode des infiniment petits, de la

DE LA QUADRATURE DES COURBES. ^6'i

manière suivante (Jig* 76 ) :

trapèze PMM' P' ^ ^^ 4- PM^ ^ ^p,

== — X d:c = r dx H ?

rejetant dxdj^ comme infiniment petit du second ordre, il restej^dx pour la différentielle.

350. Pour première application, cherchons {Jig, 77) l'aire d'une portion BMP de parabole. Soit j* = mx Téquation de cette parabole, dont Torigine est A; on trouve ,

en différentiant, 2ydjr s=: mdx\ donc da: = — dj, et par conséquent jdx = -^dy : intégrant, on a

(82) r2Z!dj-f ^4-C.

Pour déterminer la constante, j'observe que lorsque y = 0^ l'intégrale, qui exprime la surface cherchée, est nulle en même temps. Cette hypothèse réduit Téquation (82) à o = G -I- C ; donc

351. Mous avons maintenant des observations importantes à faire sur la détermination de la constante : pour cela, résolvons le même problème en prenant la parabole dont Téquation est ^

( 83 ) j' = m + nx.

L'origine des abscisses ici n'est plus au sommet de la courbe,

car, en faisant y^ = o, Téquation (83) donne a: = ; et

comme cette abscisse doit se terminer au point B {fig* 78) où y = o, on portera — de B en A, et Je point A sera l'o-

^64 CALCUL IHTÉGftAL.

rigine. Cela posé, en opérant comme précédemment, on

trouvera

2/d/ = /iclx; donc yàx=z d^,

et

(84) //dx = ^^-4-C.

Pour déterminer la constante, j'observe que la surface ADMP (fig* 'J^) qui représente ici l'intégrale, doit être nulle lorsque l'ordonnée MP coïncide avec AD-, or, AD étant l'ordonnée qui passe par l'origine A où l'abscisse X = o, Téquation (83) nous donnera, dans cette hypothèse ,

y ou DA = ^m ; faisant donc f yàx = o et y =z ^m,

ces valeurs réduiront l'équation (84)ào=.r— -f-C^ d'où

l'on déduit C = — - — , et par conséquent l'intégrale cherchée est

J X àx z= -l- - ^-- = aire ADMP.

Dans ce qui précède , nous avons tiré de l'équation de la courbe la valeur de dar, pour la substituer dans la formule j^dar, et intégrer ensuite. Nous aurions pu opérer autrenKnt, en mettant dans cette expression la valeur de y plutôt que celle de dx] car, pour obtenir l'intégrale, il suffit que la différentielle proposée ne contienne qu'une variable; ainsi on choisira la substitution qui exigera le moins de calculs.

332. Une intégrale telle que ffx*Ax peut toujours représenter l'aire d'une courbe dont l'équation serait y =Jx :

DE LA QU ADR AT LUE DES COtRBES. 265

en efi'et, cette équation étant donnée, si Ton substitue la valeur dej dans la formule /jdj:, ou aura ffx.dx pour la surface de cette courbe. C'est pourquoi lorsqu'un problème nous a conduit à intégrer une fonction d'une seule variable , on dit que ce problème est ramené aux quadratures.

353. Soit^ une fonction X de jc , et supposons qu'en intégrant Xdx on ait obtenu

(85) fXdx = Fx-^C;

cette intégrale, dans laquelle la constante C n'est pas encore déterminée , porte le nom d^ intégrale indéfinie générale^ ou plus simplement d* intégrale indéfinie, et elle est complète lorsqu'elle renferme la constante arbitraire G.

354. Si, par une hypothèse, on détermine cette constante C, si l'on suppose, par exemple, que/Xdj: doive s'évanouir lorsque x = a^ l'équation (85) donne, dans ce cas , G = Fa -H C 5 donc C = — Fa , et cette même équation (85) devient

fXdx=:¥x — Ya;

celte intégrale Fx — Fa est alors une intégrale particulière, et l'on voit que le nombre des intégrales particulières d'une expression diiTérentielle est illimité, puisqu'on peut établir une infinité d'hypothèses différentes sur la constante.

355. Lorsqu'on fait l'hypothèse de l'intégrale nulle et de ar= a, c'est admettre qu'en prenant {fig' 79) une abscisse AB= a, la surface soit comprise entre la limite BD et la limite indéfinie MP qui correspond à AP = x 5 donc l'opération par laquelle nous déterminons une intégrale particulière est la même que celle qui fixerait la position de la limite BD , depuis laquelle on compte IHnlégrale. La seconde limite PM sera fixée h son tour invariablement,

a6() CALCUL INTÉGRAL.

si nous donnons à x une valeur déterminée h\ alors riiitcgrale particulière /Xdx = Y x — Y a deviendra

(86) /XdjTzrFA— F^î,

et la surface BDMP ne sera plus arbitraire. Dans ce cas, l'intégrale porte le nom dH intégrale définie , et l'on dit qu'elle est prise depuis x c=: a jusqu'à x =ih.

3S6. Pour désigner une intégrale de ce genre, on emploie la notation suivante, qui est due à M. Fourier,

ce qui signifie que l'intégrale est prise entre les limites a et b.

Par exemple , si Ton avait

f Xdx -h I Xd X y a Jb

cette expression nous indiquerait que l'intégrale prise depuis a jusqu'à b a été continuée de i en c, de sorte que l'intégrale totale se trouverait exprimée par

Xdor.

357. Cherchons maintenant l'intégrale définie de j:'"d jr ; nous sommes donc censés connaître deux valeurs a et &, qui satisfont à l'intégrale indéfinie

Supposons que la première corresponde à fliclx= o, on aura

DE LA QllADRATL'EE DES COUHBES. 267

et Tintégrale particulière sera

Jxr'àxz=:

Nous ferons ensuite x = b ^ et nous aurons pour l'intégrale définie

/ x'"dx= •

358. On parvient aussi à cette intégrale en faisant successivemisnt x= a et x = b dans Fîntégrale indéfinie , et Ton a

-t-C, et hC;

m -hi m -f-i

on retranchera ensuite le premier résultat du second ^ mais, en prenant cette différence , il faut toujours avoir soin que la partie soustraite soit la valeur de la fonction de x à Torigine de l'intégrale.

359. Pour troisième application , déterminons l'aire d'un triangle rectangle ABC (^g. 80) : l'équation de la droite AD étant j- = ojc, en mettant cette valeur dey dans la formule j^dx, on obtient axdx\ donc

J'jrdx = faxàx = hC;

Jé

la surface étant nulle quand a: = o, la constante est égale

à zéro j donc

ax^ X XY

aire ABC = — = -Xû-p = -^' 22 2

«i60. Si dans la formule yAx on met la valeur de y,

tirée de l'équation du cercle, on trouvera fax ^a* — x' pour l'expression de l'aire du cercle. Nous avons vu (art. 282) que cette intégrale avait pour valeur

- Va' — .^' -h Y <î' arc ( sm = - -h C.

a68 CALCUL INTÉGRAL.

La partie 7 a* arc I sîn = - ] ue pouvant se déterminer

qu'en supposant connu le rapport du diamètre à la circonférence (*), on voit que l'intégration de dx yja} — x' ne peut conduire à la solution du problème de la quadrature du cercle. Il en est de même de la quadrature de l'ellipse qui dépend de

Si Ton compare ces deux expressions, on en tirera lu proportion

aire ellipse \ aire cercle : : -fax ^a' — .r* \ fax ^a^ — a:',

ou

b aire ellipse \ aire cercle \\ — : i ,

d'où Ton tire

aire ellipse = - X «"^ cercle = — 7rû'= T^ab,