L'équation de la cycloïde (art. 800) donne
substituant cette valeur dans la formule (88), nous trouverons
V "iay—y V -iay —
y la — / '
r dr
Comme d/ exprime la difTérentielle de l'expression qui est sous la parenthèse, multipliée par — i , nous ferons (art. 071) 2a — y=^Zy et nous aurons
Cette équation étant intégrée, donne
Jày i/ =r ~ 2(20)' z' -f- C =r — 2 v^2û3 -f- C;
DE LAIIVE DES SOLIDES 1>E RÉVOLUTION. 'l'J i
uu , en restituant la valeur de j,
(%) /^l J k/t^^ = - ^ ^7,a{ia^y) -f- C.
Pour déterminer la constante, nous prendrons l'intégrale de manière qu'elle s'évanouisse quand ^ = 2 « ; dans cette hypothèse , réquation (89) se réduira à o = o + C, ce qui montre qu'il n'y a point de constante à ajouter; alors l'arc de cycloîde s'étendra depuis le point B ( fig, 8 1 ), où j= 2 a , jusqu'au point M, dont les coordonnées sont .r et y. La valeur absolue de l'aix MB étant
2^2âr [7, a — j), nous remarquerons que BE =r 20 — j; donc
2 sJ^a^ia-^-y) = 2 \/BD X BE = 2BG; d'où il suit que l'arc de cycloîde MB est égal au double de la corde GB ; par conséquent 9 arc ÂB = 2 BD.
DE IiA DÉTERMIHATIOH DE L'AIRE DBft SOLIDES DE EÉVOLUTION.
364. Si une courbe BC {fig* 75), tracée sur un plan, fait une révolution autour de l'axe AX, elle engendrera un solide de révolution. Cherchons la difTérentielle de Faire engendrée par cette courbe. Pour cet eiTet, soient AP= x^ PM = j^ PP'= h , et par conséquent
PM=:/x = j,
^ ax dx' 2
Dans ce mouvement de rotation, les coordonnées MP et M' P' décrivant des cercles inégaux, ces cercles seront les bases d'un cône tronqué, dont la corde MM' sera le côté. L'aire de ce cône tronqué aura pour expression
c/rc. PM + cîVv. P' M'
X corde MM!,
En représentant par i ; tt le rapport du diamètre à la circonférence, l'expression précédente deviendra
2 ir PM -4- 2 TT P' M'
"^ X corde MiVr = ir ( PM -^ P' M') X corde MM' ;
272 CALCLL INTÉGRAL.
et en meiiaiU, pour les ordonnées PM et P'JVF, leurs valeurs analytiques, on aura
aire cône tronqué MM'= tt ( ly H" i~" ^ "^ T^ — " ' ) ^^''^^MM',
d^où Ton tirera, en divisant, aire cône tronqué
lémM I d r , d'r A' \
^ — =n"^-^di^-^d^7-^---)-
corde MM'
Si nous représentons maintenant par u Faire engendrée par le mouvement de rotation de Tare MM', et par s cet arc de courbe , comme en diminuant h , cet arc tend à se confondre avec sa corde , le premier membre de Téquation précédente
devra être remplacé, dans le cas delà limite, par -r — ; et
le second se réduisant alors à 2 Try, nous obtiendrons
au
— = 2 Tty-y
as
et par conséquent Au-= iizyàs^ et en mettant pour d^ sa valeur trouvée (art. 1S9) , on aura enfin
(go) d w = 2 7rj = ^d.r'-f- dj'.
36S. Par les infiniment petits on aurait considéré Télément de la surface de révolution , comme celle d'un cône tronqué, engendré par la rotation du trapèze élémentaire MPP'M' (fig, 76) autour de PP'; ce v6r\e tronqué aurait pour expression
/PM-f-P'M'\ ^,„, ' , , , , ^ ^
cir, I j X ^lM^= TT (2/-4-d j) as=zi'ityas -f-7r ayas\
supprimant le terme Trdyd^, comme infiniment petit du second ordre, il resterait
2 T:yàs = 2 TV y ^Ax"^ -f- d y ', élément dune surface de révolution' 366. Pour première application, prenons Paire du para-
DE l'aire des solides DE RÉVOLUTION. 2^3
boloïde de révolution , qui est le solide engendré par la révolution d'un arc AM de parabole {fig* 82) autour de son axe ; l'équation de la parabole y^ = px donne
Cx=z-^ — ^ et CLX^zz:^^ ^«
Cette valeur étant substituée dans la formule
2 7r^^d«»-4-dj% la réduit à
yà.y étant la différentielle de la quantité qui est sous le radical, à une constante près, je fais (art. 271) 4^*-l-p' = ^,
et en différentiant je trouve yîiy = -^\ substituant et intégrant , j'obtiens
Je détermine la constai^te en supposant que Tintégrale soit nulle lorsque r = o, ce qui réduit l'équation précédente à
o = ^/?^H-C, ce qui donne C == Ç-\
et en supposant que l'intégrale soit prise depuis y •=:o jusqu'à y = h , l'intégrale définie sera
367. Pour seconde application, évaluons Taire de la spbère. Cette surface courbe étant engendrée par la révolution de la demi-circonférence autour du diamètre, soit x^-^y^^^ a} V équation du cercle; en différentiant, nous
2^4 CALCUL IBiTÉGRAL.
trouverons
donc
d j^ = et d j2 = — — ;
substituant cette valeur dans la formule (90) , nous obtiendrons
(91) j/2'rry/ (p+«)d*'=/2'fdxv/^'+^'
( =:J'2irflrdx + 2irûX -h C.
Pour déterminer la constante^ nous prendrons lintëgrale à partir du point A (fig 83), et puisque l'origine des abscisses est au centre, nous supposerons l'intégrale nulle lorsque x = — a ; cette hypothèse réduira l'équation (91) à
0= — 2 7rfl*-hC; donc C = 2irfl';
substituant cette valeur dans Téquation (91), nous aurons
y* 2 TT a d.r = 2 TT ( a.r -4- fl^) .
Prenons maintenant l'intégrale définie entre les limites X = — aeta: = a;il faudra changer j: en a dans la formule précédente, et nous obtiendrons, pour la surface de la sphère ,
f2nada:==: 2 7r(2«*) = 4^«'-
368. On peut aussi trouver l'aire du cylindre droit ^ car cette surface étant engendrée par la révolution du rectangle AD [fig» 84) autour de Taxe AB, soient AB = a, CA = ft; r équation de la droite CD sera y z=zb] donc dy = o. En substituant ces valeurs dans la formule (90) , on la réduit à 2 71 fe àx ; et en intégrant , on a
Si Ton prend Fintégrale définie entre les limites x = o et x = a,on trouve pour Taire du cylindre
2îr^fl= !2nb Xfl = circonférence de la hase X '^ hauteur.
CtIBATUnE DES SOLIDES DE KÉVOLUTIO.V. ^jS
A regard de l'aire du cône, ce solide étant engendré par la rotation du triangle rectangle ABC (/îg'- 85) autour de l'axe AB, soient AB = a, CB = /'-, l'équation de AC sera y ^ - x; cette équation donne , par la dilTércntiation , A , . *' j
Les valeurs de j
et de dy*
étant
substituées
dans la
for-
mule{9o),ona
hx
/2,tJ'^dx'+dj- =
x<là''^h' = rc—-y)
et en prenant l'ii x = rt, onobticn
négrale définie .
Biitrc les lim
lites X =
oe,
aire du c6ne=. %b
é^i=2)rèX
AC
= cire,
o„fé,-.n
^cBCX— ■
DB L* ClIBitTUKB MS SOLIDSS DB UVOIUTIO.1I.
369. Soit V le volume engendré par la révolution de l'aire mixtiligueABPM autour de l'axe AX (Jig- 75); si l'abscisse AP ^x devient AP'=x H- A, le solide de révolution s 'accroîtra du corps engendré par la rotation du trapèze mixiiligne PMM'P' autour du même axe. Le volume engendré par ABMP étant une fonction de x, puisqu'il s'augmente uu diminue en même temps que x , il s'ensuit que le volume engendré par ABM' P' sera une fonction de x-\-k, et aura pour expression
par conséquent, si l'on en retranche le volume cngendi-é par ABMP, on aura
dr , d'<- h'
pour le volume engendré par PMM'P^ Or, ce volume étant compris entre les cylindres engendrés par les rectangles MP' et M'P, différera moins de l'un de ces cylindres que ces cylindres ne différent entre euxj donc, si l'on peut prouver que, dans le cas de la limite, le rapport de ces cylindres est Tunité, il en sera, à plus forte raison, de même du rapport du corps décrit par PMM'P', à l'un de ces cylindres. Cela posé, on a évidemment
le cylindre décrit par PM' = w [/( a: -+- A)]' A , le cylindre décrit par P' M = tt [fx )' h ;
donc le rapport de ces cylindres est exprimé par
i/xy
En faisant A = o , on voit que ce rapport se réduit à Tunité; il en sera donc de même du rapport du volume engendré par PMM'P' à celui du cylindre décrit par MP'. Or, ce rapport étant représenté par
dp d^p h' dx" ' d a:* 2
dl'
"^- • dx
d^p h dx^ 2
