CUBATURE DES SOLIDES DE RÉVOLUTION

lume MON {fig* 86) comme partagé en tranches infiniment minces, par des plans perpendiculaires à l'axe de révolution ; Tune de ces tranches , qui est l'élément du corps, peut être considérée comme un cylindre dont la basie est le cercle décrit par j", et dont la hauteur est égale à l'épaisseur a& représentée par dx-^ par conséquent, cet élément a pour expression ity* dx,

371. Appliquons cette formule à la détermination du volume de rellipsoïde allongé, qui est le volume engendré par la révolution de Tellipse autour de son grand axe : Péquation dç l'ellipse rapportée au centre étant

y* = — (a^ — a:') , on substituera celte valeur dey* dans la

formule nj* dx, et l'on aura

n X* dx =1 n -^ (a^ — :r')dx; et en intégrant, on trouvera

Supposons que l'intégrale soit nulle au point A (fig. Hy ) où

X = — fl , nous aurons

et en substituant cette valeur de C, l'équation (gS) devient

/tt j» dx = »r - ^û' x — y 4- 3 «' j •

Faisons ensuite a: = a , pour avoir l'intégrale définie comprise entre les limites »r = — a eix= -h n-^ nous obtiendrons

tel sera le volunie de Tcllipsoïde allongé. Si h =^ a, ce yo^

luine deviendra celui de la sphère ^ et aura pour expression

~7rfl'r=— irfl'X3i<î = ^rfa cylindre circonscrit,

Déterminons encore le volume du paraboloïde de révolution. Pour cet effet, prenons la parabole de tous les ordres pour génératrice 5 l'équation de cette parabole nous donnera

substituant cette valeur dans la formule (92), nous obtiendrons

Jn-f-fli

I' = fn rt' Jc "• dx = f- C.

Pour déterminer la constante, nous supposerons le volume nul à l'origine où x = o ; alors nous aurons C = o.

Lorsque m =12 et /î = i, on ay== ax* ^ d'où Ton tire j* = a'x, ce qui est l'équation de la parabole ordinaire, dans laquelle u* tient la place de la constante p de l'équation de cette courbe. Dans cette hypothèse, on a

c* =r TT fl' — =.77 a^ x — = n y'' • — 2 2 2

Or, 7T y* étant Taire du cercle dont PM {fig- 88) est le rayon, l'expression j'î^y^-x représente la moitié du cylindre décrit par APMB autour de Taxe des abscisses : donc le volume de la parabole ordinaire est la moitié de celui du cylindre circonscrit.

Dr la cil bat lire des corps termines par des surfaces courbes, au

moyen des intégrales doubles.

Ô72. Proposons-nous de ilétcniiiner Texpression de la différenfioJIc d'un volume terminé par une surface dont l'équation est dounc<\ Soit F.DCIl [fig. 89) un volume compris dans Fanglc de^