x/ ,r àW ^ d'V A» d»V h

dj? d .r' 1 .2 d^r" 2.3

et la tranche DD' CC FG sera représentée par

.r/ ,T dV^ d'V A» d^V A^ dx dx'i.2 ax^2,o

dans le cas de la Hmite, cette équation nous donne

,, V' — V dV

Nous avons déjà fait assez connaître les méthodes des limites et des

infiniment petits, pour que nous ne craignions pas d'employer

ici quelques considérations tirées de c«tte dernière, afin de jeter

plus de jour sur cette matière ; on pourra ensuite, sans difficulté,

dV revenir aux limites. L'équation (94) nous montre que — est le

coefficient différentiel qut détermine le volume ; par conséquent

dV la différentielle est -5 — àxi cette différentielle n'est autre chose

qu'une 'tranche infiniment mince DD'CC'FG, dontdr serait l'épaisseur. Si dans cette tranche on fait varier j, elle deviendra infiniment mince dans le sens des y, comme elle Test déjà dans celui des .3:; et, par conséquent, elle se réduira à un petit prisme élémentaire ID'KF, dont z sera la hauteur, et qui aura pour base FGKL = àxéy ; nous aurons donc

d'V -7 — r— dxdr=:zdj:dr, àxày -^ *^'

équation qui nous donnera

d X d/ remplaçant z par la valeur tirée de l'équation de" la courbe, cette

valeur sera, en général, une fonction de x et de/, que nous représenterons par M, et nous aurons

àx ^y

575. Pour déterminer le volume, au moyen de cette expression, écrivons-la ainsi :

— -^dr=-Md.r; dj

la notation qui est dans le premier membre nous montre qu'on

dV est parvenu à l'expression de la différentielle de -r— > en regar-

dant y comme variable et x comme constant; la même hypothèse devra donc avoir lieu lorsque, par une opération inverse, nous intégrerons ; mais alors x étant traité comme une quantité con stante, pourra se trouver dans la constante qu'on doit ajouter à l'intégrale. Nous regarderons donc, en général, cette constante comme une fonction de x\ et en la représentant parX, nous aurons, par une première intégration,

(95) |I=/Mdj^ + X.

Pour exécuter la seconde intégration , nous remarquerons que la

dV

notation — montre que la différentielle du volume doit être prise

en regardant x comme la seule variable : nous devons donc conserver la même hypothèse dans l'intégration ; ainsi, en représentant par Y la fonction de j, qui remplacera la constante, et en multipliant préliminairement par d .r, pour changer le coefficient différentiel en une différentielle, nous trouverons

574. L'ordre des intégrations étant arbitraire, on peut indi- (juer ainsi les opérations que nous venons d'exécuter :

(9G.) V=//z<ljd.r.

CTJBATURE PAR LES 1^TÉGRAL£S DOUBLES. 28 1

375. Pour donner une application de cette méthode ^ proposons-nous de trouver le volume de la sphère : l'équation de la sphère étant

on tirera de cette équation la valeur de z, et en la mettant dans la formule (96), on aura

(97) ff^^^^X ou /dj/zda: = /dj/dj:v^r>— j:^— j-»;

regardant y comme constant, et appelant A' la différence r^ — /', qui est essentiellement positive , puisque r surpasse toujours j, nous trouverons d'abord , en intégrant par rapport à x ,

fax v''H — X» — j-« = fax v^A» — X' ; or, d'après l'art. SOS , nous avons

fdx v^A^ — x' = - v^A' — .r» 4- - A' arc ( sin = - ) -4- Y,

et en mettant la valeur de A% on trouve

l Jàx sjr^ — X» — /» = ~ V^r» — .r? —

j + ^{'^-r')arc (^sin=-^=^^^ + Y.

Pour prendre Tin tégrale définie , observons que, la constante^ étant représentée par AP (fig. 90), tous les points que nous allons déterminer par cette intégrale doivent avoir leurs projections sur la direction de PM; car l'un quelconque de ces points ayant la variable z pour ordonnée, aura AQ et QN pour ses autres coordonnées, et alors QN sera égal à la constante AP ; et l'autre coordonnée AQ, dirigée dans le sens des .r , pourra être remplacée par PN : de sorte qu'en comptant les ^ sur la droite PM , les x seront constants. Prenant donc l'intégrale de P en M, c'est-à-dire depuis

x = o jusqu'à a? = PM = ^r* — ^% nous substituerons successivement à Xy dans le second membre de l'équation (98), les valeurs .r =r y/r' — /' et Jc = 0, et retranchant le second résultat

du premier, nous trouverons, pour Fintégrale définie,

-(r* — /') ^^^ (sin = i) :

et observant que Tare dont le sinus est Tunité , vaut le quart de la circonférence représentée, suivant Tusage, par xtt, cette intégrale définie devient

celte valeur de Jàx ^f' — .r' — j' étant substituée dans l'équation (97)) on aura

et, en intégrant depuis 7 = 0 jusqu'à / == r, on trouvera [^fig- 90)

Tel sera le volume qui reposera sur le quart de cercle BAC, et qui sera par conséquent le huitième de la sphère. [Note X.)

De la quadrature des surfaces courbes , au moyen des intégrales

doubles,

570. Soit {fig. 89) EDCB = S une surface courbe, et supposons que l'abscisse .r s'accroisse de //; cette surface deviendra

^ dS, d=»S h' . , j 1 |. . ,

S -h -p- /' -h 1—; h etc. ; et , dans le cas de la limite , le rapport

de l'accroissement de la fonction S à celui de la variable x se réduira à -r- : d'où l'on conclura que la différentielle est -=— dx: d j: d X

cette différentielle sera représentée, dans la figure, par la bande

DD'CC d'une largeur infiniment petite. Si dans DD'CC on fait

maintenant varier j, et que jr devienne encore infiniment petit,

la bande DD' CC se réduira à DD'IT, et aura pour expression

'. PAR LKS lATÉGRALES DOUBLES. sS'S

Or, cette surface DD' II' étant iofiDÎment petite, on peut la considérer comme plane; par conséquent, en la multipliant parle cosiousde son inclinaison y sur 1^ plan des xy, elle égalera d^rd^ ( Nou Xlj ; nous aurons donc

DD'irco»7 = did^,

-j — -j — dxdj'cosy ^ axi\^;

d'où nous tirerons

dxdy COS7

Pour déterminer la valeur de 7, soit A-r -1- Bj' 4- Ce H- D = o

l'équation du plan langent; nous savons que ce plan Tait avec le

plan desxj- un angle qui est donné par l'équation (IVoteXII)

Si nous considérons donc A.r+ B7 + C3-+-D = 0 comme l'équation du plan tangent au point de la surface courbe dont la projection est djrdj', nous aurons

Pour déterminer les coelTicients dilTci'eDtiels qui entrent dans cette expression, nous remarquerons qu'au point que l'on considère, le plan tangent se confond avec la surface courbe, dont nous représenterons l'équation par z^^fl^x^j'); par conséquent, les

valeurs de -r- et de ~, qui entrent dans l'expression de C0S7,

doivent être regardées (art. 77) comme les mêmes que celles que l'on déduirait immédiatement de l'équation t^/(x,j-). Ayant donc fait ces sulistiiuiions , on intégrera ensuite deux fois l'itiu;!tion (99], multipliée par dxdj, o]H!ration qnc nousindiqucioiis. comme précédemment , par un dnubli.' signe d'intégration, ei nous

284 CALCUL INTÉGUAL.

aurons

377. Pour donner une application de cette formule, cherchons à déterminer rexpre.«sion de la surface de la sphère. Son équation étant

(loo) 4'» 4- ^» 4- «' = r»,

nous la différentierons , et nous trouverons, après avoir divise par 2 y

xdx -hjrày -f- zdz = o,

d*où nous tirerons

d»= dx — -dr$

par conséquent

dz X àz y

djF z dy z

Substituant ces valeurs dans Texpression

/dz\' /dz

nous la changerons en

sj

et y par conséquent, nous aurons

mettant la valeur de s, on aura

578. Pour effectuer les intégrations indiquées , nous écrirons , , C C ràxày . r A C <'*

IHTÉGRATIOA DES FOKCTIOAS DE DEUX VADIABLES. a85

Cl par là nnus loarqucrons que nous devons coromeDcer par in-

l^rer l'espression « en considérant * comme la

seule Tariable} faisant donci comme précédemment,

et intégrant, d'après l'art. S74, nous aurons, constante fonction de^,

mettant la valeur de A , et prenant ensuite l'intégrale définie depuis^ = o jusqu'à j^^ ^r' — j"', il viendra

= arc(sin^ i) ^ jcireonférertce ^ —

celle valeur étant substituée dans l'équation (loi), nous donnera

en appelant X la constante qu'on doit regarder comme une fonction de x; preuant ensuite l'iaiégrale définie entre les limites r ^ o et j- = r, nous trouverons enfin

Telle sera la partie de la surface sphérique comprise dans l'ungle formé par les axes des coordonnées rectangulaires Xfj', t, c'estir^ire la huitième partie de la sphère.

L'MTteUTIOH DBS POICTIOSS DE D

379. Les deux métliodes principales quù Ton emploie pour parvenir à intégrer les équations différentielles, qui contiennent deux ou un plus grand nombre de variablo , consistent, i" dans la séparation des variables, pour pouvoir leur appliquer ensuite les procédés usités pour une

286 CALCDL INTÉGRAL.

seule variable; 2° dans la recherche des facteurs propres à rendre une dliFérentielle exacte. C'est pourquoi nous allons nous occuper successivement de ces deux méthodes.

DE LA SÊPABATION DES VARIABLES , DE L'ÉQCATION LINÉAIRE DU PREMIU ORDRE, ET DES PROPRIÉTÉS DES FONCTIOIIS HOMOGÉHES.

380. Nous avons vu que toute différenlielle, pour être intégrable, devait être de la forme <fxdx'^ ainsi, on serait arrêté dans rinlégralion d'une équation, si elle renfermait

des termes tels cfVLe j*dx,xydx^ — ^» etc. Cependant il

ne faudrait pas conclure que l'intégration est impraticable; car, si par des opérations algébriques on pouvait faire en sorte que chaque terme ne contînt plus qu'une seule variable, l'intégration pourrait s'effectuer ensuite. L'équation xdy-hj-dx = o est dans ce cas. En effet, si l'on divise cette équation par xy^ elle devient

et en intégrant, elle donne logy -h logj:= C*, et en repre'seutant par A le nombre dont C est le logarithme , on peut écrire logy + logx = log A , et , par conséquent,

\oQxx = logA;

passant aux nombres , on a

•rj = A.