Pour en donner un exemple , proposons-nous d'intégrer

(1 — x')d^=: da: sfy- 1

en divisant par (i -f- x*) sjy^ on aura

d^* dx

et en intégrant cette équation, on obtiendra

i\Jy:= arc tangx H- C.

383. On séparerait encore les variables par la division dans la formule

f x.Fj.dx-h ff' x.Wy.ày = o;

pour cela, il suffirait de diviser par Fj^.ç'r, et Ton aurait

Ce procédé est applicable à l'équation

.r^^dx H- (3 j 4- i) dj y.r^ = o ; car, si on la divise par j^ \/x', on obtient

384. L'intégration pourrait encore s'effectuer si la pro-' posée renfermait plus de deux variables , et qu'on pût la ramener à ne contenir dans chaque membre que des dîflfiérenlielles dont on connaît l'intégrale, comme seraient, par exemple , les fonctions

ydx — xày

5 xàr -hyAx,. . . ,

qui ont respectivement pour intégrales - et xj.

a88 CALCUL INTÉGUAL.

385. Il est une équation importante, dans laquelle la séparation des variables s^eiTectue par un procédé trèsingénieux, c'est la suivante :

(102) d/4-Pjdx = Qdj?,

où P et Q sont des fonctions de x.

Pour cet effet , on égalera y au produit des deux indéterminées X et 2 , ce qui donnera

/ = »X, dj^ = «dX -h Xd«;

substituant ces valeurs dans Féquation (loa), on la transformera en

«dX-hX(d«-+-Pzdx) =Qdx.

X étant arbitraire, on déterminera cette fonction eu égalant entre eux les termes qui ne sont pas sous la parenthèse, ce qui décomposera Féquation précédente en ces deux-ci :

X(dz 4-P«dj:) = o, «dX= Qdo-;

la première donne

— = — Pdj:, ou log3 = — yPda:, ou , en observant que loge équivaut à Funité,

log» = — /PdAlog<?=rlog«?~/P^';

.passant aux nombres , on a on tire de la seconde

donc

X=/Qtf/^'*^'dx-+-C;

mettant ces valeurs de z et de X dans Féquation

j = zX,

DE LA. SÉPARATIOJV DES VAXIÀBLES. ^89

OU obtient

(io3) X = i?-/P^'(/Qe/Pd'dar 4- C).

Cette équation porte le nom ai équation linéaire du premier ordre, nous en verrons la raison (art. 450).

386. La séparation des variables peut toujours s^efiecluer dans les équations diflerenti elles du premier ordre à deux variables , lorsqu'elles sont homogènes. Une équation homogène est celle dans laquelle tous les termes, considérés par rapport aux variables, sont de mêmes dimensions : ainsi r équation

est une équation homogène, puisque la somme des exposants de j: et de y étant égale à 5 dans chaque terme , tous les produits a:*^', J^/*, etc., sont chacun de cinq dimensions.

L'équation

est aussi homogène, puisque la somme des exposants des variables dans chaque terme est 8. La variable x n'entre pas dans le dernier terme de l'équation^ mais cette variable peut être considérée comme élevée à la puissance zéro.

387. Soit, en général, z une fonction de x et dey composée de termes homogènes, tels que Kx^y"^^ Bx^'y'f'j Cx^'j'f"^ etc. Si nous représentons par n la somme des exposants de X et de y^ dans un de ces termes, nous aurons , en vertu de l'homogénéité ,

/?4-^ = «, /?'-!- ^'='», p" '\' q" ^ty etc.

Cela posé, si nous divisons tous les termes par a:", l'égalité subsistera encore, et le ternie Kx^yf deviendra

jc" .r"-/» x^ . \x )

'JQO CALCUL IHTÉGRÀL.

(le que nous disons de ce terme pouvant s'appliquer à tous les autres , nous aurons donc

et en faisant ~ =r ^, celte équation deviendra

.r"Fy = 2, équation qu'on peut écrire ainsi :

(io4) Qx'rrz,

en appelant Q la fonction représentée par F^.