Ce théorème peut s'appliquer à des fonctions homo

INTÉGilATION DES DIFFÉRENTIELLES . EXACTES. 297

gènes d'un nombre quelconque de variables ] car, si Ton avait, par exenfple , l'équation

Mda- 4- Nd/ H- Pdf = dz,

dans laquelle la dimension fût toujours n , il suffirait de

laire- =^, - = r, pour prouver, par un raisonnement

analogue à celui que nous avons employé, qu'on doit avoir z = x"F (q^r)f et par suite

Mx -+- Nj -4- P/ = nz.

DES cbinDITIOlIfl D'IITÉQBABILITÉ DES FOHCTIONfl DB DBDX VARIABLES.

396. Lorsqu'on a une différentielle Mdx + Ndj^ = o, on ne peut pas affirmer qu'il existe toujours une équation qui, étant différentiée, donne la proposée-, car, si l'on différentiait , par exemple, l'équation f(x,y) = o^ et qu'on en tirât mdx -h ndy =z o^ on pourrait multiplier cette équation par une fonction de x , et obtenir une équation Mda:-|-Ndy=:o dont les coefficients M et N seraient différents de m et de n^ par conséquent, l'équation

Mdx-hNdj =0

ne résulterait plus du seul procédé de la différentialion de

II en serait de même si Ton combinait arbitrairement

//ido: -h «dy = o aven l'équation ^v\v[)\\\SQf[x^y) =o;

par exemple, en éliminant un ou plusieurs termes entre

m dx -h 71 dy = o eif(x , y) = o , on pourrait obtenir une

équation

M'da; -h N'dr = o,

dans laquelle les coefficients différentiels M' et N' seraient différents de m et de «.

397, Une équation qui , telle que mdx -h ndy = o^ a été obtenue par le seul procédé de la différentialion, se

398 * CALCUL IHTÉGaAL.

nomme une différentielle exacte ] il en est de même de toute fonction différentielle qui ne serait pas égale à zéro, mais qu'on aurait trouvée par le seul moyen de la différentîation. Lorsqu'une équation différentielle Mdx + Ndy = o n'est pas une différentielle exacte , on ne peut songer à l'intégrer que lorsqu'on l'a rendue une différentielle exacte par quelque opération préparatoire.