Euler résolut le premier ce problème important

1°. Une équation différentielle étant donnée , déterminer comment on peut reconnaître lorsqu'elle est une différentielle exacte?

2°. Quel est le moyen d* intégrer cette équation?

Avant de donner une solution de ce problème, je rappellerai que, d'après notre convention (art. 54) , l'expres-

dz . .

sion-r— nous indique que la fonction zdexei.deyB. été

différentiée par rapport à a:, et divisée par dx [*)] si

dz ensuite cette fonction j- est différentiée par rapport à une

autre variable r? puis divisée par dj^, nous écrirons ainsi le

résultat de cette opération : -^ — -p- • Si, au contraire, on eût

pris d'abord le coefficient différentiel de z par rapport à /, et ensuite par rapport à a:, on aurait écrit ainsi le résultat

de cette opération : -. — r- • * djrdx

\ (*) Soit d« = Adar-+-BdrH-Çd«, etc., la différentielle totale de «; le

ds rapport -r— n'est autre chose que le coefficient différentiel A. Si Ton demandait le rapport de Adx-t-Rdj'-hCdl, etc., à dx, il ne faudrait donc pas le

représenter par — ; dans ce cas, le rapport de la différentielle totale à d-r

s'écrira de l'une des manières suivantes:

■7— dz ou — r— • d X dx

IHTÉGRÀTION DB6 DiFF^REKTiïiJi^LES EXACTES. 9Qf^

Lorsque z est une fonction de trois variables x, j", Uj,

une expression telle que -j — t — -j— indique qu'on a pris

d'abord le coefficient différentiel de z par rapport à x, et

ensuite le coefficient différentiel de j— par rapport m y, et

d'z enfin le coefficient différentiel de^ — -7— par rapport à m.

Pareillement, l'expression ■ ^ indique qu'on a effectué

einq différent! a tions succiessiyes sur z , les deux première» par rapport à x, et les trois autres par rapport ky,

399. Cela posé, le théorème d'Euler repose sur la pixvposition suivante, qui a élé démontrée (art. 174) :

Si Pon a une fonction z de deux "variables x et y, et

quon prenne le coefficient différentiel de Zy d^ abord par

rapport à x^ et qu'on prenne en$uite le coefficient diffé-'

dz reniiel de -7— par rapport à j^ on aura le même résultat

que si F on eût d abord pris le coefficient différentiel de z.

par rapport à y, et ensuite le coefficient différentiel de -p-

par rapport à x : c'est ce qu'on exprime en disant que

da:d^ àyàx 4fOO. Si Ton a , par exemple, ^ := x* -I- x/, on trouve

dz dz

et, par conséquent ,

dard^ àyàx