La variable indépendante étant or, soient
àjr d'j à^x
et ainsi de suite. Si Ton prend une expression Vdx dans laquelle V soit fonction de ar , de/, de /?, de </, etc., il faudra pour que Vdx soit une différentielle exacte, qu'elle provienne par la différentiaiion d'une certaine fonction que nous désignerons par z ; nous aurons donc V d .r = d s , ou plutôt
Supposons que V ne contienne que x et/, et que les coefficienls différentiels /? et ^ ; c'est-à-dire qu'on ait
. dr d='r Texpression Vdj;, à cause des coefficients différentiels -r— et -r— ^
qu'elle renferme, appartiendra au second ordre; il en sera donc de même de d z ; par conséquent , z devra être une fonction du premier ordre, et ne contiendra point q. Ainsi Ton aura, en la
différentiant,
, ., , d« . dz , dz ,
(..4; d. = j^dx + ^dj-t-^d/,;
mettant cette valeur de d z dans Téquation ( 1 1 3 ) , on obtiendra
I /dz , dz , dz ,
3o2 X:A:LCIîL ÏNTÈGnAL.
fisiisant passer le divmiir dx sous la jjarenthèse, on aura
dz dz dr dz dp
d.r dy dx dp da*
mettant, au lieu des coefficients différentiels, leurs valeurs données par les équations (112), on trouvera
Soit maintenant
(116) dV=Mdjt-hNd^H-Pd;?H- Qd^,
les équations ( 1 1 3 ) et ( 1 1 5 ) vont nous fournir les moyens de dé"
terminer les coefBcients M, N, P,Q en fonction des coefficients
,.„. . , dz d*z ^ «.,,,, dV
diflerentiels -t-'t-:» «^c. Pour cet effet, la valeur M = -r- ^ ax dar dx
tirée dé Téquation (i 16) , étant mise rfans Téquatiott (1 13 ) diffé*
rentiée par rapport à ^ , on a
M= -.— • dx dx
on trouvera de même
dV 1 d'z
(^'^) dj ^" ^^d:;-<^-
dV A l'égard de P, le coefficient différentiel -r— •? qui en «si la valeur,
^e trouvera en différentiaot l'équation ( 1 1 5 ) par rapport k p et <en divisant par d/?; et, si Ton observe qued.up = udp ^ vda^ on aura
dV d'g dz d^z d'z dzd^ dp dxdp dx dydp d.p^ dpàp
Or le terme afTecté de -{-^ est nul, car
dp
d^ d g d'p dp d 1 d . constante
djj d.rd/^ d,r dx dx
DES COHDITIOIIS n'iHTÉGniLDILlTÊ. 3o3
vt comme une consianie n'a point île ilifTérentielle , nous suppriroeroi» le terme affecté de -7^ ( *), ce qui réduira la valeur de I equarion (it8) à
dt d'z d'i d^z
dy dxdp AjrAp dy'
Celte Valeur Ta se simplifier; car l'équelion (ii4)t étant HifTéren- [iéc par rapport à p, nons donne
et en divisant par àx, on a
I dz d't A't d^
dx dp Axdp àfdp dp'
Cette valeur des trois dernier» termes de l'équation (119) la réduira à
d^ ax dp En opérant de même par rapport à Q , on trouvera dz 1 ^ dz
"^^-rp^drJdTr
et comme, dans notre hypothèse, la fonction z d\\ premier ordre ne peut renfermer d'y et par conséquent q, il faudra supprimer
(*) Si, an lieu des )eal$ coeCScients difTérentiels p et f, on STaitencor r, I, I, etc., en BuiTaot la même marcbe, on lombernit snr les expression
3o/f . CALCUL INTÉGRAL.
en résumé , nous avons
I d'z I dz
dz I dz dz
d^ dx dp dp
Il ne s*agit plus que d'éliminer entre ces équations la fonction i,
qui nous est inconnue ; or, en considérant les coefficients différen*
tiels qui s*y rencontrent, nous voyons qu'il en existe de deux
sortes qui sont communs à plusieurs de ces équations : ce sont
dz dz
-;— et -r— qui entrent dans les valeurs de P, de N et de O. Cher-
a.r dp '
chons à éliminer ces deux coefficients différentiels entre nos trois
équations : pour cela, nous remarquerons que la différentielle de
-=— qui entre dans la valeur de N est celle du ternie -=— qu'on dx djr
trouve dans la valeur de P; nous différentierons donc l'équation qui a P pour premier membre, et, en divisant par dx, nous trouverons
dp I , dz 1 , dz
ax ax ay ax'^ dp
par conséquent, en retranchant de cette équation la seconde des équations (120), nous obtiendrons
ax dj?* dp
Il nous reste encore ici un terme qui contient z ; mais nous l'éliminerons à l'aide de la quatrième équation (120), différenliée deux fois, ce qui nous donnera
Telle sera l'équation de condition qui devra avoir lieu , pour que V étant fonction de x, de^, de p et de 7, l'expression V djrsoit une différentielle exacte.
En général, si V est une fonclion de x, de j et des coefficients
INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES EXACTES. 3o5
différentiels /?, ^, r, j, /, etc. , on trouvera
d.r ' d x' . f\ x^ àx^ i\x^
4(IS, Par exemple, si Ton avait ///d.r + «d/, en mettant celle expression sous la forme (/w -h np) do:, la fonction V serait dans ce cas égale à m + npy et Ton en déduirait
;T~dP = ;r- K-d.r4-y-dj) =T--H-r-/>, ûx ax \éx ■ dj / d.r d/
ces valeurs de N et de -T~f'P> mises dans réqualion
la convertiraient en
d//i an an an
^X d/ dx ày '
et en réduisant on trouverait
d /72. • d « d^ Ax
ce qui est l'éiquation de condition ( 1 11} de Tart. 401 .
iRTÉGRATIOH DBS FONCtlOllS DE DEUX VARIABLES QUI REMPLISSENT LES COBDITIOIIS d'IRTÉGRABILIT£. ~ REGHERCnES DES FACTEURS PROPRES A BBEDRE INTÉGRABLES LES ÉQUATIONS QUI NE LE SONT PAS IMMÉDIA- TEMENT.
406. Proposons-nous maintenant d^intégrer une différentielle à deux variables , lorsqu'il a été reconnu qu'elle est exacte. Pour cet effet, nous remarquerons d'abord que lorsqu'une fonction u de x et dej^, par la diflférentiatîon , a donné Mdj? -f- Ndy, le terme Md j: a été obtenu en regardanty comme constant. Par conséquent , lorsque nous intégrerons la partie Mdor, la constante que nous ajouterons pourra renfermer y^ et en la représentant par Y, sauf,
3o6 CALCUL INTÉGRAL.
si le cas l'exige , h regarder Y comme une constante ordinaire , nous écrirons
(i23) « ==fndx -hY=o.
Celle équalion étant celle qui , par la .différentialion, a dû nous donner Mdar -f- N dj = o , il suit de là que N nVst autre chose que le coefficient difTérentiel de ^ Md.r -h Y, par rapport ky.
En effectuant cette différentiation, nous aurons
d/Md^ JY.
on lire de celle équalion
dY dfMdx dj ~" d J
et en intégrant,
cette valeur dey mise dans l'équation (laS), on obtient (.04) « = /Mdx+J(N-i^)d^.
Il est à observer que N — ne renferme pas r,
puisque cette expression, multipliée par dy, doit donner pour intégrale une fonction Y de la seule variable/.
d fMdx 407. Pour démontrer que Texpression N —r n'est pas
une fonction de x, nous en prendrons le coefficient différentiel par rapport à .r , et nous aurons
, ^, dN d(dfmdx)
d X djr dx
et en changeant Tordre des différentiations, la seconde partie de
INTÉGAATIOU DES DIFFÉRENTIELLES 1^ ACTES. Soj
cette expression deviendra
d(d/iMdx) V dx J^ dxd Y dr '
or, l'intégrale y M do: ayant été prise par rapport à ^, la différentielle de y M d .r, relativement à la mnne variable Xy sera M d x ;
, d/Mdx II. \ d^ /
donc *^ , = M , ce qui réduit 1 expression — ^ — =
dx " dy
à - — 5 substituant cette valeur dans l'expression (laS) , nous au-
dN dM „ ., , 1,.
rons-r -i — •, or cette quantité est nulle d après 1 équation
de condition d'inlégrabilitc , d'où il suit que la différentielle de
d /Mdx N si-r par rapport à x est nulle, ce qui prouve que
cette expression ne renferme pas x.
408. Au moyen de la formule (124), on peut intégrer toute fonction de deux variables qui satisfait a la condition dMntégrabilité. Prenons pour exemple
(126) (6 x/ — /*)dx-f-(3x* — 2 xj) dj.
Comparant cette expression à Md j: -f- N Ay^ nous avons
6 xj — ^' =r M , 3 x' — 2 .rj = N.
Par conséquent , la condition d'intégrabilité est remplie, puisque Ton trouve
dM ^ dN
dy ^ dx'
intégrant l'expression {6xy — j^)Ax^ dans Thypotlièsc dey constant, nous aurons
f M dx = /(6x7 — j') dx = 3 x\r — y'x\
substituant cette valeur et celle de N dans Téquation (1 24}
3o8 CALCUL INTÉGRAL.
nous obtiendrons
H = 3xy^yx 4- / I 3 JT»— 2x/ — ( ^x — r^) j^,
La partie affectée du signe d'intégration, en exécutant la diiférentiation indiquée, se réduit à
y (Sx* — 2 XX — 3 j?*-+- 2xy) djr;
et, enôtantle signe d'intégration , on a une difTérentielIe dont les termes se détruisent : il suit de là que Tcxpression
rfo , <l(3x'r — r'j:)l ,
est constante, vu que toute quantité dont la différeulielle est nulle , est constante ^ d*où il résulte que Fintégrale cherchée est 3 x*y — j' x 4- constante.
409. Si Ton n'eût pas voulu employer la formule trouvée par l'art. 406, ou aurait pu faire directement le calcul de la manière suivante :
On intégrera l'expression (126), en regardant j^ comme constant, et l'on aura
/ M dxz=f (6xx -^ ') dx H- Y, ou
( 1 27 ) w = 3 x^f — j' jr 4- Y ;
différentiant cette équation par rapport kjr^ on obtiendra
du - , dY
-=3.'~2xrH-g^;
-j— n'étant autre chose que le coefficient de ày dans IVx-
pression (126) , nous avons aussi
du
I dY
comparant ces valeurs, nous trouverons -r — = 0, et par
conséquent Y = constante; mettant cette valeur dans Té-
INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES EXACTES. Zog
quation (i 27) , nous trouverons
Il =. Zx^y — r^-P -h constante,
