Soit encore la fonction

si on la compare à l'expression Mdjr -f- Ndj^, on trouvera

et comme Ton a

dM , , dN

la fonction proposée est une différentielle exacte. Intégrant par rapport à a:, nous aurons

/Mdar =7^0:2 + 3/^.r-H Y,

diâ'érentiant cette expression par rapporta^, on obtiendra

Au^^à^y^x' + Zy^x) dY^

dr~" <*jr d/'

d'une autre part, -r— représentant le coefficient de Ay dant Téquation proposée , nous aurons encore

de ces deux valeurs de -t~ on tire cette équation

d(r2j:'4-3r*.r) dY ^ d j / "^ dj = ^"^'-^ -^ 9-^' -H 8r%

et en eflectuant la difierentiatiou indiquée par rapport kj on a

j Y 2 ar2 j -f- 9j'.« H- — =: 2 Jt' J 4- 90^/' -f 8^%

3lO CALCUL INTÉGRAL.

ttquation qui se réduit à

donc

et par conséquent l'intégrale cherchée est

u z=iy''x}-\- Zy^x -4- 2/*-+- C.

411 . On a vu (art. 403) que réquationj^djrr — xdy =o n'était pas une différentielle exacte, parce que cette équation avait perdu le facteur commun — ; on sent donc qu'il

peut exister des équations qui , telles que celle-ci, ne sont pas immédiatement intégrables, mais qui le deviendraient si l'on pouvait restituer ce facteur.

412. Soit en général l'équation Pda:-hQdj' = o, qui est une différentielle exacte, et z le facteur commun, quie, pour plus de généralité, nous supposerons une fonction de X et de j^ ; nous aurons

P = M2, Q=Nz.

Si l'on suHstitue ces valeurs dans l'équation précédente, le facteur commun z disparaîtra, et l'on aura

(128) Mdar-^Ndr = o.

L'équation Pd a: -f- Qdy = o étant une différentielle exacte par hypothèse , on aura

dp dQ d^ d x'

mettant pour F et pour Q leurs valeurs, cette équation deviendra

dMz dNs

Ay d.r '

INTÉGRATION DES DIFFÉaSNTItLLES EXACTES. 3ll

et en développant , on trouvera

Udz «dM Ndz zdN

^ ^ ér ûy ax ax