Lorsque le facteur commun z est constant , -7- et y

étant nuls, Téquation (129) devient

dM dN âjr dx

et par conséquent la condition nécessaire pour que Téquation (128) soit une dîfTérentielle exacte, est remplie. Mais, lorsque z est une fonction de x et de y^ la détermination de z dépend de l'équation (i 39) -, or cette équation est plus difficile à intégrer que la proposée , qui ne renferme que le

. . . dy seul coefficient différentiel -r— 5 tandis que Téquation (129)

renferme les deux coefficients différentiels x- et -r— î et

dx ajr

contient trois variables x,y^ z.

414. Si Féquation est homogène, il est très-facile de déterminer ce facteur^ car soit Mda: + Ndj^ = o une équation homogène, qui devienne intégrable par la multiplication d'une fonction homogène z dex et de r ; appelant u l'intégrale de Téquation zMdx -j- zT!fdj = o, on a

(i3o) zMdx -h zX^ày = du;

celte éqiiation étant homogène, ou en déduit (art. 394)

(i3i) zMx-t-aNx =='*«;

or, si la dimension de M est représentée par m , et celle de z par A^, la dimension de l'un des termes zMx^ ^^J sera donc 771 H- A 4- 1 *, cette valeur étant mise à la place de n , dans 1 équation précédente , nous aurons

zMx -f «Nj = (m 4- ^ -+- 1) « ;

3l2 CiLCUL INTÉGRAL.

divisant l'équatiou (t3o) par celle-ci, nous irouverons Mdx+Ndr du i

Le second memba^e de cette équation étant une différentielle exacte, il en doit être de même du premier; d'où il suit

que — — doit être un facteur propre à rendre inté-

grable Téquation homogène M dx -+- Ndj^ = o.