Soit, par exemple, yàx — xdj^=: o; on a
dM dN
au moyen de ces valeurs , la formule (i32) nous donne
/dz Tadx T-J— '
d'où l'on tire , en intégrant ,
log« = — - 2 logo: -t- logC == — loga:»-f- logC = log ~ ;
et en passant aux nombres , on trouve 2 == -^ : par consé-
quent r^expression -^ — sera une différentielle
exacte.
417. On peut trouver une infinité de facteurs qui jouissent de la même propriété. En effet , soit z un facteur qui reude exacte l'équation Mj8da:4-Nzdy = o^ en représentant par u l'intégrale de cette équation , nous aurons
Mzdo: + N«d/ = dit; multipliant les deux membres par fu, nous obtiendrons
La forme de (pu étant arbitraire, nous pouvons faire , par exemple , y m = 2 m', et alors 2 u* de/ étant une différentielle exacte ,
en sera aussi une \ donc le facteur 2 zu^ aura la propriété de rendre intégrable l'expression
Mda:-f-Ndj=o.
On voit qu'on peut faire une infinité d'autres hypothèses sur^ii.
3l4 ^CALCUL INTÉGRAL.
Des conditions d'integrabilité des /onctions de trois et d'un jjIus ^rand nombre de variables. Intégration des équations de trois
variables qui y satisfont, DeJ'équation de condition qui a lieu pour que Vntégration des équations différentielles à trois variables dépende d'un facteur commun ^ et des moyens de satisfaire à la proposée , lorsque cette équation de condition n'existe pas.
418. Proposons-nous de déterminer les conditions d'intégrabilité de la différentielle d'une fonction de trois variables Jc,/, z\ cette fonction étant représentée par u , nous aurons
(i34) da = Md:c4- Ndj + Pdz;
par conséquent,
d tt ., an ^ d a
M=:^, W=T-' P=T— ax ay dz
On peut combiner deux à deux ces équations , de trois manières différentes :
i^ -r- = M et -=-.=»N,
ax Ay
d« ,, au ^
?/•. -r-=M et -^=P,
ax a z
o« d tf ^, du ^
3". rr- = N et -7~ = P.
ay az
Par une démonstration analogue à celle que nous avons donnée précédemment, on déduira de ces équations celles-ci : ,
( 3K) dM dN dM dP dN dP
d^ i\x ûz ûx dz dy
£n général, s'il y a n variables, on aura autant d'équations de condition que ces variables peuvent donner de produits distincts
deux à deux , et par conséquent — ^ équations de condrtion.
419. Lorsque la différentielle du est nulle, Téquation (i34) se réduit à
Mdjc -f- Ndj-H Pd3= o;
lîlTÉGRATlOK DES FONCïIOBiS DE TROIS VARIABLES. 3iO
inettoDS-la sons la forme
( 1 36 ) d z = m (1 .r H- « djr ,
en faisant
(i37) ^=:,^ni, p~— «.
Or, si nous regardons z comme une fonction de x et de y, nous pourrons traiter Téquation (i36) comme si elle ne renfermait que ces deux variables ; par conséquent, la condition d'intégrabilité se réduira à celle de Tart. 401 , c'est-à-dire qu'il faudra que la différentielle de m, prise par rapport à jr, et divisée par cette variable, soit égale à la différentielle de n par rapport à .r, et divisée par x^ Pour obtenir ces expressions, nous remarquerons que la première ne sera pas seulement -, — 9 mais devra avoir un second terme
provenant de la difTérentiation de la variable z, regardée comme fonction de ^; ce terme sera donc représenté (art. 26 et 66) par
-i— -T— Ce que nous disons de la différentielle totale, prise par
rapport à Xy devant s'appliquer à la différentielle totale, prise par
rapport à x, Téquation de condition (m) (art. 401) sera, dans le
cas présent,
dm dm dz drt d/zdz
dy dz dy d.v dzdx^ •
transposant et observant que, d'après l'équation (i 36), -p- = /// ,
et que 1— = « , on a
, ^^ dm dn dm dn
l38) T -^ *"«-j /II-r- = 0.
^ ' dy d.r dz dz
Or, en différenliant les équations (137), d'après l'art. 16, on a.
„dM „dP ^dN ,,dP
dm df dy dn dx d.r
dj~ F ' d^~" P» '
«dM ^^dP „dN ^dP
dm N dz dz dn M d^, d z
'' d7"~ p pï ' "' dl"" P P»
3i6 CALCUL INTÉGRAL.
Substituant ces valeurs dans Téquation (i38), réduisant les deux derniers termes et supprimant ic dénominateur commun P% nous trouverons, en changeant tous les signes,
^ dj df dx da: dz dz
Telle est Téquation de condition qui doit avoir lieu pour que z puisse être considéré comme une fonction de deux variables indépendantes X et jTy c'est-à dire pour qu'il puisse exister une équation finie entre ces trois variables; par conséquent, si Ton prend au hasard une équation Mda:4- Ndj-f-Pd3=:o, çntrc trois variables, avant que de savoir si Téquation (iBg) est remplie, on ne pourra pas affirmer que Tune des variables est fonction des deux autres; c'est-à-dire que Téquation différentielle proposée nécessite l'existence d'une certaine équation entre x, / et 3, ou, en d'autres termes, que cette équation différentielle ait une équation unique pour intégrale.
420. Une équation différentielle à trois variables, pour laquelle réquation (i3g) ne se réalise pas, était autrefois regardée comme absurde, ou du moins comme insignifiante ; Monge, ainsi que nous allons bientôt le faire voir, prouva que l'on était dans l'erreur.
Lorsque les équations (i35) ne sont pas satisfaites, si nous représentons par > le facteur propre à rendre Md.«-hNdj-f-Pd3 une différentielle exacte^ les équations de condition (i35) deviendront
dXM dXN dXM àlV dlT^ d\F dy dx dz dx dz dy
effectuant les différentiations indiquées, on obtient
M— — N— x/"— — — Wo d^ dx \àx dx)
dz d/ \d z drj
IKTÉGKATION DES FONCTIONS DE TROIS VAjllABrES. il^
Si Ton multiplie la première de ces équations par P, la seconde par — Ny et la troisième par. M, et qu*on les ajoute, les termes qui ne sont pas entre les parenthèses se détruiront; Téquation étant divisible par \, ce facteur disparaîtra, et il restera
^dM „dN ^dM ^df> , .dN ^ dp
à y dx cl z i\x a z d j
résultat qui n'est autre chose que Téquation (iSg), et qui s'accorde avec ce que nous avons dit sur la fin de Part. 419; car, pour que la proi)Osée soit intégrable à Taide d'un facteur >., il faut que, comme dans tous les autres genres d'intégration, elle nous conduise à une équation unique entre x, / et z , condition exprimée par réquation (iSg). Lorsque cette équation sera satisfaite, la détermination du facteur^ ne dépendra plus que de deux des trois équations de condition (i4o) , puisque leur co:iibinaison avec l'équation (iSg) reproduira la troisième (*).
42i. Examinons de quelle manière on peut déterminer l'intégrale, lorsque l'équation (iSg) est satisfaite. Pour ceteflet, regardons Tune des variables, z par exemple, 'comme constante; la proposée représentée par
(i4i) Md.r-f-Ndjr-f-Pd3 = o,
se réduira nécessairement, dans cette hypothèse, à
(142) Mdj: -h Ndr = o.
{*) Cela est facile à \Trifier; en effet, si Von avait, par exemple, los deux équations
^d7-^dl^"^Hd7-dl) = ^' „d; /dN dP\
en ajoutant la première multipliée par P à la seconde multipliée par M , et retranchant de cette somme le produit de Téquation (iSg) par >, on trouverait en réduisant, et en supprimant ensuite le facteur commun N,
,.d/ „di /dM dP\
d« dx \ dz dr J
ce qui est la seconde des équations (i/jo).
3l8 CALCUL INTÉGRAL.
Si cette dernière équation n^est pas immédiatement iotégrable, c'est qu'il est possible que cela provienne d'un "facteur commun qui aura disparu de Féquation (i4i)' Désignons-le par \, nous aurons, en le restituant dans la proposée,
(143 ) >Mdjr-+-XNdjr 4->Pdz = o,
et en faisant z constant^ cette équation deviendra
(i44) XMdx-hXNdj = o.
Or si, par un procédé quelconque, nous trouvons im facteur qui rende intégrable Péquation (1^11), nous le regarderons comme étant celui que nous avons nommé X ; alors Téquation (i44) ^^^^' nant une différentielle exacte , nous pourrons en obtenir Tioté^ grale que nous représenterons par V. Cette intégrale sera en général une fonction des variables jr, / et de z, traitée comme constante; par conséquent, elle devra être complétée par une constante arbitraire (art. 408) fonction de z, que nous désignerons par 9 z ; de sorte que nous aurons
(145) • V-f-<pz = o;
différentiant cette équation par rapport à la seule variable z, on obtiendra
dV da>z\ , -j^-h-f- dz; dz dz '
la quantité renfermée entre les parenthèses devant être identique à celle qui multiplie d z, dans T équation (i43), on aura donc
d'où Ton tirera
(•47) -^ = ^P-dû =
et comme la fonction <fz, qui a été donnée par Tintégration, ne peut renfermer d'autre variable que z, il en sera de même de
-p-« Donc, en vertu de l'équation (i47)> ^^ faudra aussi qi'^'
dV , .
X P i— se réduise à une fonction de la seule variable z.
INTÉGRATION DES FONCTIONS DE TROIS VARIABLES. 3lC)
Il suit de ce qui précède , qu'après avoir reconnu que Téquation (139) est satisfaite , on regardera Tune des vaiiables comme constante, z par exemple, ce qui réduira l'équation (i40 ^ ^*équation ( 1 ^7) . On examinera ensuite si les deux termes M dx+Ndj ne peuvent pas devenir intégrables, en les multipliant par une quantité que nous avons désignée par >. Lorsqu'on sera parvenu
à trouver ce facteur, on détenninera V , les valeurs de l, de «il et
az
de P, étant alors substituées dans l'équation (i47)» feront con-
, dopZ Q(û z
naître —r^* Par conséquent, en intégrant — ,-— ds, on obtiendra
dZ (12
la valeur de 7s, qu'on mettra, ainsi que celle de V^ dans Téqnation (i45>), ce qui donnera l'intégrale cherchée.
