INTÉGRATION DES FONCTIONS DE TROIS VARIABLES
d*où Doiis conclurons que Tintégrale cherchée est
az^
xyz -4- - -h C.
424. Lorsque Téquation (iSg) n'est pas satisfaite, on ne saurait admettre qu'il existe une équation qui, étant différentiée, produise la proposée; par conséquent, Téquation (i47)) ^^ repose sur cette hypothèse, ne saurait subsister; cVst ce qui va devenir sensible dans Texemple suivant :
Soit donc
xyàx — zj:d/ -f- (a* — j')d« = o
une équation qui ne satisfait pas à Téquation de condition (iSp),
Examinons de quoi se compose, dans le cas présent, la partie
dV >.P — -r- qui formerait le second membre de l'équation (l47)> si
cette équation avait lieu . Pour cet effet , en regardant % comme constant, nous aurons
équation qui devient intégrable si on la divise par xy\ donc
X = — 5 et y z=z X — zlogj;
xy
par conséquent, aP — -r- a pour valeur
— ^-Mogr. .
xy
Or cette quantité, étant une fonction de trois variables x^ j, z , ne peut se réduire à une fonction de z seul , comme l'exigerait réquation (i47)> ^^ ^^^ ^"^^W. lieu; donc, dans le cas actuel, celte équation (i47) °^ saurait subsister.
485. Soit maintenant Mdar -f- Nd/ -f- Pd« = o une équation diflérentielle, pour laquelle l'équation de condition (iSQJne se réalise pas; désignons par \ le facteur propre seulement à rendre intégrable la partie Md.r -|- Nd/, prise en regardant z comme
'i'22 CALCUL INTÉCnAL.
constant, et iiiultipHons la proposée par ce facteur, nous aurons
(i 5o) > Md j: -f XN dj -4- ^ Pd 3 =r o ;
intégrant la partie >Mdr-f-^Nd^, dans l'hypothèse de z constant, rinlégrale que nous obtiendrons pourra être représeutée, comme dans lart.^ 4ftl , par
La différentielle de cette équation étant prise par rapport aux trois variables, nous ne pourrons en conclure son identité avec Téquation (i5o); car Téquation de condition (iSg) ne subsistant pas, il en résulte que l'équation (i5o) ne peut être regardée comme provenant de la différen lia lion d'une autre équation; et comme c'est sur cette hypothèse que repose l'équation (i^']\ on voit qu'alors elle ne peut plus exister ; mais s'il n'est pas permis d'admettre que la proposée provienne d'une seule équation différentiée, lorsque l'équation (iSp) ne se réalise pas, changeons donc d'hypothèse^ et regardons cette proposée comme le résultat de deux équations. Prenant V-4-(p« = o pour la première, nous pourrons adopter pour la seconde une relation arbitraire entre jc, r et z, pourvu toutefois que, conjointement avec la première, elle entraîne la destruction de tous les termes de l'équation (i5o). Supposons donc que cette relation soit celle qui est donnée par l'équation (147)9 équation qui ne subsistait plus lorsqu'on exigeait qu'elle satisfît à la proposée, mais qui, dans l'hypothèse actuelle, est admissible , puisqu'il est facile de reconnaître qu'avec le concours de l'équation (i4^) elle satisfait à l'équation (i5o).
En effet, en différentiant l'équation (i^S) par rapport aux trois variables, l'équation (i44) nous fournira d'abord les termes qui proviennent de la différentiation prise par rapport à ^ et à j ; car nous avons vu que l'équation (iJ^S) était l'intégrale de l'équation (i44) prise par rapport à ces deux variables. On ajoutera ensuite aux termes ^Mdo: -h >]N d j ainsi obtenus, ceux qui proviennent de la différentiation de l'équation (r45), prise par rapport à 2, et l'on aura de la sorte
dz d^
INTÉGRÀTIOM DES FOHCTtONS DE TROIS VARIABLES. 3a3
Si dans cette éqtiaiion on remplace les deux derniers termes pai* leurs valeurs tirées de l'équation (i47)> on obtiendra
1 M dx + 1 N d^ H- i Pdi = o", équation dans laquelle on reconnaît la proposée, et (jui est par conséquent sacisraite entièrement par les deux équations
„5„ V + ,.= „ ...iî + ^^" = --P.
employées simultanément.
436. Prenons pour exemple l'équation j-dj-t- idx = di; si l'oD regarde z comme constant, le facteur propre à rendre inii-grable la partie jd^ -t-sdx, est z; par conséquent, nous aurons (i5?) 2j-d;- + aidx— 2dz=:o;
cette équation sera satisfkite par le système des deux suivantes :
En elTet, la première étant difTérentiée par rapport à toutes ks
variables, donnera
dss i-fAy -(- aîdj4-2.cdi+ -~ di = o;
draot de cette équation la valeur de lyAy + 2sdx, et la siibsii> tuant dans l'équation (i5a), on réduira celle-ci à
— 2 jrd» -p- dz — 2di^o,
équation satisfaite d 'elle-même , en vertu de la seconde des équations (i53).
4!17. Les équations (i53) nous montrent que la forme <li' l,t fonction f s est absolument arbitraire, et que, par conséquent, -ir l'on fait, parexemple,ïa = ïS on y satisfera aussi par tesysléiin' des équaiiuns
(i54) r=+2«-Hî' = o, aa:-i-3ï--t- 2 = 0.
428. Au moyen de ces deux équations entre trois variables, on pourra construire {Note XIII) une courbe à double courbure qui, dans tous ses poigts, satisfera à la proposée; mais si, au lieu de prendre (ps = z% on prenait pour «pz une autre fonction de z , on déterminerait une autre courbe à double courbure qui satisferait également à la proposée; d'où il suit que les équations (i53) représentent une suite de courbes à double courbure qui satisfont à la proposée, et qui sont liées entre elles par la propriété commune que leurs équations ne diffèrent entre elles que par les termes re>
d(p2 présentes par yz et par -r^—
