THÉORIE DES COHSTAIITES ARBITRAIRES

429. Une équation V = o , entre a:, y et des constantes , peut être considérée comme l'intégrale complète d'une certaine équation diiFérentielle dont Tordre dépendra du nombre de constantes que Y = o renfermera. Ces constantes sont nommées constantes arbitraires^ parce que si Tune est représentée par a , et que V ou l'une de ses dîfTérentielles soit mise sous la forme f(x,jr) = a, on voit que a ne sera autre chose que la constante arbitraire que donnera l'intégration de df(x^y). Cela posé, si l'équation différentielle en question est de l'ordre n ^ chaque intégration introduisant une constante arbitraire, il faudra que V = o, qui est censé nous être donné par la dernière de ces intégrations, contienne au moins n constantes arbitraires de plus que notre équation différentielle (*)• Soient donc

( '^ ) Si une équation en x et en r ne renfermait pas n constantes arbitraires de plus que Téquation différentielle de Tordre n, elle ne pourrait en être regardée comme Téquation primitive. Par exemple, l'équation

d«r y = «*'f qui nous* conduit à t-j = 6ax par deux différentiations successives, n'en est qu'une intégrale particulière. En effet, cette intégrale s'ob-

THÉOIUE DES COWSTAWTES AKBITRAIRES. SaS

réquation primitive d'une équation diflerentîelle du second ordre, et ses différentielles immédiates; nous pourrons, entre les deux premières de ces trois équations , éliminer successivement les constantes a et b^ et obtenir

Si, sans connaître F(a:,/) = o, on parvenait à trouver ces

. ■ . . dr

équations, il suffirait d'éliminer entre elles -p pour obtenir

F(.r,jr)=o, qui serait l'intégrale complète, puisqu'elle renfermerait les constantes arbitraires a et b,

430. Si l'on élimine la constante b entre la première des équations (i56) et sa différentielle immédiate, et qu'on élimine de même la constante a entre la seconde des équations (i56) et sa différentielle immédiate, on obtiendra séparément deux équations du second ordre, qui ne différeront point entre elles, autrement les valeurs ^de x et de y ne seraient pas les mêmes dans l'une et dans l'autre. Il suit de là qu'une équation différentielle du second ordre peut provenir de deux équations différentielles du premier ordre, qui sont nécessairement différentes, puisque la constante arbitraire de Tune n'est pas la même que la constante arbitraire de l'autre. Les équations (|56) sont ce qu'on appelle les intégrales premières d'aune équation différentielle du second ordre qui est unique, et dont l'équation primitive F (a:, j^) = o est l'intégrale seconde.