Prenons pour exemple l'équation j= ax H- i, qui

tient en faisant 6 = o et c := o dans Tintégrale complète , qui est

X = ax* -H bx -H c.

Observons encore qu'on ne doit considérer que comme une seule constante celles qui ensemble affectent une même puissance de x. Cest ainsi que dans cette équation j' = (<i-i-*)*-h<?,,onne compte a -h & que pour une constante.

'i26 CALCUL INTÉGRAL.

h cause de ses deux constantes, peut être regardée comme Téquation primitive d'une équation du second ordre. On eu tire par la difierentiation, et ensuite par rélimiuation dé a,

Ces deux intégrales premières de l'équation du second ordre que nous cherchons, étant difïérentiées chacune en particulier, conduisent également, par l'élimination de a et de 6,

d'y à Téquation unique -p^ = o.

Dans le cas où le nombre des constantes surpasse celui des constantes arbitraires requises, les constantes excédantes, par la raison qu'elles sont liées aux mêmes équations, n'amènent aucune relation nouvelle. Cherchons, par exemple, l'équation du second ordre dont la primitive est

( 1 58) j y = ^ ax^ H- b.7' -f- c ;

en la diilérentiant, on obtient

fiSq) -r^=ax-i-b.

L'élimination de b et ensuite celle de a entre ces équations nous donnent séparément ces deux intégrales premières :

/ /? \ d r I • , . I dr i ,

(ibo) y = .r -j ax^-^c, r = - x -7^ -h - fc>.r-f c.

En éliminant -~ entre les équations (160), on tombe sur

Téquation primitive (i58). D'un autre côté, si Ton diflerenlie la première des équations (160), on trouvera, en réduisant.

IDIj -; =^/.

Si au rontrairr on eût différcnlié la seconde des équa-

THÉORIE DES COIISTAMTES AKSITRAIKES. ^37

lions (160) , oti aurait trouvé, eu réduUaut ,

Ax' ûx

(Miuation qui coïncide avec celle qui esl désignée par le

n" 161 , en remplaçant le second membre par sa valeur tirée

de l'équation (iSg) (*); ce qui montre que les équations (i6o)

l'Oiiduisent à la même équation par des chemins dilTérents.