Appliquons de semblables considérations à l'équa

tion différentielle du troisième ordre : en différentiant trois

fois de suite l'équation "F [x,y) ^ o , nous aurons

f/. y :!£\-o vi. r ^-l,'^^\-o

ces équations admettant les mêmes valeurs pour cliatune des constantes arbitraires que renferme F (x,y) ^ o, on peut en général éliminer ces constantes entre cette dernière et le5 trois précédentes équations, et obtenir un résultat que nous représenterons par , . , J Ay A'y d'r\

t'^^' ^(,''-^'dI'dI''d-^j=°'

ce sera ré(|uatiou difTérenlielle du troisième oi'dre de F (x, y) = o, et de laquelle les trois constantes arbitraires seront éliminées; réciproquement, F(j7,^)^o sera l'intégrale troisième de l'équation (162),

433. Si l'on éliminé suceesslvemcut chacune des constantes arbitraires entre l'équation F(j;,j') = o cl celle que l'on en tirerait par la différenViation, on obtiendra trois

(•) Dans le cas nd nons ne connsitpions pn» ror(.ialion primilive (i&R), on))ourrail conleeler rcni})loi que noua nïons Tnil Je l'eriualioii (1S9] ijtii

328 CALCUL IMTÉG&AL.

équations du premier ordre , qui seroot les intégrales secondes de l'équation ( 1 6 a ) .

Enfin, si Ton élimine deux des trois constantes arbitraires, à Taide de Téquation F {x,y) = o et des équations que Ton en déduira, par deux différentiations successives, c'est-à-dire si l'on élimine ces constantes entre les équations

on pourra conserver successivement dans l'équation qui proviendra de l'élimination, Tune des trois constantes arbitraires; par conséquent, on aura aiitant d'équations que de constantes arbitraires. Scrient donc a^b^c ces constantes arbitraires; les équations dont nous parlons, considérées seulement sous le rapport des constantes arbitraires qu'elles renferment , pourront être représentées ainsi :

(i64) ffc = Oj ç6=ro, ^a=o.

Gomme les équations (i63) concourent toutes à l'élimination qui nous donne l'une de ces dernières, il suit de là que lés équations (i64) seront chacune du second ordre; on les appelle les intégrales premières de l'équation (162).

,434. En général, une équation différentielle d'un ordre n aura uii nombre n d'intégrales premières, qui contiendront

par conséquent les coefficients différentiels depuis -r— jusqu'à

-. — 4 inclusivement: c'est-à-dire un nombre n — i decoefdx"~-' '

ficients différentiels ; et Ton voit que lorsque ces équations sont toutes connues, il suffit d'éliminer entre elles ces coefficients différentiels poui^obtenir l'équation primitive.