SOLUTIONS PARTIC. DES ÉQUATIONS DIFFÉRENT

donnant une valeur convenable k la constante afbi traire que renferme cette dernière.

Par exemple, si Ton nous donne l'équation

xdx -h/d j = dy sjx^ -h J^ — «% dont Fintégrale complète est

et que, pour plus de commodité dans les calculs, on fasse évanouir les radicaux par l'élévation au carré, la proposée deviendra

(i65) (a';t')-l^-f.2.rr^ + x'=o,

et Ton aura pour l'intégrale complète

(i66) 2cj-f-c' — x^ '\' a^ ■=. Q ,

Il est certain qu^en prenant pour c une valeur constante arbitraire c= aa, on obtiendra cette intégrale particulière :

qui aura la propriété de satisfaire à l'équation proposée (i65) tout aussi bien que l'intégrale complète. En effet , on tire de cette intégrale particulière

X* — 5fl' dy X

ces valeurs réduisent la proposée à

équation qui devient identique, en substituant dans le second membre la valeur de c' que nous fournit la relation c= 2a, établie entre les constantes.

Pendant longtemps on crut que cette propriété de l'intégrale complète était générale, et que lorsqu'une équation

33o CALCUL INTÉGRAL.

diilérentielle en x et ea y était donnée, on ue pouvait reucontrer une équation finie entre les mêmes variables qui ne fût un cas particulier de l'intégrale complète, en donnant, comme nous venons de le faire, une valeur arbitraire à une constante; mais on s'aperçut enfin que cela n'était pas toujours, et Euler lui-même, dans un Mémoire publié en 1756, regardait comme un paradoxe du calcul intégral le fait singulier de F équation

qui a la propriété de satisfaire à l'équation diflférentielle (i65), et qui n'est point comprise dans son intégrale complète. En effet, cette équation étant différentiée, donne xàxzzz — yàyf cette valeur et celle de x*-hj^* étant substituées dans Téquation (i65), en font détruire tous les termes, et néanmoins l'équation (167) n'est pas comprise dans rintégrale complète \ car, quelque valeur constante que l'on donne à c dans Féquation (166), jamais cette équation ne pourra amener l'équation (167), puisque la première étant celle d'une parabole, ne peut, dans aucun cas, devenir l'équation (167), qui est celle d'un cercle.

Cette équation (167), qui satisfait à la proposée sans être renfermée dans l'intégrale complète, s'appelle une solution particulière ou singulière de la proposée. Clairaut, dès 1734 5 avait remarqué ce fait, et Ton crut longtemps ijue ces sortes d'équations n'étaient pas liées à l'intégrale complète ; Lagrange fît voir qu'elles en dépendaient , et à ce sujet eSposa la théorie que nous allons développer.

436. Soit M.Ax -4- Ndj^ = o une équation différeniiellc du premier ordre d'une fonction de deux variables x el y\ on peut concevoir cette équation comme provenant^de l'élimination d'une constante c entre une certaine équation du même ordre, que nous représenterons par mAx^nàj^^o. et l'intégrale complète F (.r, r, c) = o, que nous désigne-