SOLUTIONS PARTIC. D^S ÉQUATIONS DIFFÉRENT
roQs par u. Or, dès que tout se réduit à prendre la constante c de manière que l'équation Md.r -f- Ndjr= o soit le résultat de l'élimination, on sent qu'il est même permis de faire varier cette constante c, pourvu que l'équation Mdar-+-Nd^= o ait lieu : dans ee cas, l'intégrale complète F(x,y, c) = o prendra une plus grande généralité, et représentera une infinité de courbes de même genre, différant les unes des autres par un paramètre, c'est-à-dire par une constante. Cette hypothèse est admissible^ puisque, lorsque l'équation Mda: -H Ndj^ = o est donnée, il est dans l'esprit de l'analyse de ne rejeter aucun des moyens qui ont .pu amener cette équation.
437. Supposons donc que l'intégrale complète étant différentiée , en considérant c comme variable, on ail obtenu
(i68) àx=z^àx^^dc,
dx QC
équation que, pour simplifier, nous écrirons ainsi : (169) dx = /?d.r -h ^dc.
Il est certain que si p restant fini, qàc est nul, le résultat de Télîmination de c variable entre F(.r, j^, c) = o et Vequation (169) sera le même que celui de c constant entre F(x, j", c) = o et l'équation à.y=^pàx (*), car Téqualion (169}, par la raison que (]àc est nul, ne diffère pas de ày = pàsç-^ mais pour qu'on puisse avoir çdc = o, il faut que Tun des facteurs de cette équation soit nul, c^està-dire que Ton ait
d c = o on <7 = o.
Dans le premier cas, dc = o donne c=^ constante, comme cela a lieu pour les intégrales particulières^ ce ne sera donc
'* ) Ce résultai est par hypothèse M clr -\- IS d j — o.
que le second cas qui pourra convenir à une solution particulière : or, q étant le coefficient de de de Téquation (i68), on voit que q = o revient à
Celte équation renfermera c ou en sera indépendante; si elle renferme c, il peut arriver deux cas ; ou Téquation 9 = o ne contiendra que c et des constantes , ou cette équation contiendra c avec des variables. Dans le premier cas, réquatîony = o donnera encore c •=. constante j et dans le second cas, elle donnera c=/*(.r, j) (*) -, cette valeur, étant substituée dans l'équation F (.r, y, c) = o, la changera en une autre fonction de x et de y, qui satisfera à la proposée sans être comprise dans son intégrale complète, et par conséquent en sera une solution singulière; mais on aura une intégrale particulière si l'équation c =f[x^ j), au moyen de l'intégrale complète, se réduit à une constante.
438, Lorsque le facteur ^=: o de l'équation ydc = o ne contient pas la constante arbitraire c, on connaîtra si l'équation q=zo donne lieu à une solution particulière , en combinant cette équation avec l'intégrale complète (**)•
(*) Bien entendu que cette équation renferme comme cas particuliers ceux où l'on aurait c ■=-fx ou c ^s:^fy.
( ** ) Dans ce dernier cas, où q ne contient pas c , on peut se demander comment on a le droit d'égaler q à iséro. Je répondrai que la valeur qu'on a donnée à c dans Vintégrale complète détermine Tégalité de y à zéro. En effet, lorsque nous tirons la valeur x^=ify de Téquation ^ = o, pour la substituer dans F(j:,r, c), et obtenir F{'^,^,c), c'est la môme clioseque de tirer ar de F (jt,/, c) = o et d'en substituer la valeur dans q. Par conséquent, le résultat de cette dernière opération sera encore F(r,/rf <^)- ^ ne s'agit plus que de prouver que ce résultat est égal à xéro pour constater qu'il en est de même de q\ or c'est ce qui a lieu , en considérant F {f^fji*^ comme provenu de la première opération, c'est-à-dire de F(x,^, c)=^o, dans lequel on aurait mis pour x sa valeur.
SOLUTIONS pautic. des équations différent. 333
Par exemple, si de g =: o ou tire a: = M, et qu'on mette
cette valeur dans l'intégrale complète F (x, j^, c) = o, on
obtiendra
c •= constante = B , ou c z^fy.
Dans le premier cas, ^ = o donne une intégrale particulière : car, changeant c^en B dans l'intégrale complète , on ne fera que donner une valeur particulière à la constante, tout comme on le fait quand on passe de l'intégrale complète à une intégrale partrculière. Dans le second cas, au contraire , la valeur^y introduite en la place de c, dans l'intégrale complète, établira entre x et y une relation différente de celle qui avait lieu lorsqu'on ne faisait que remplacer c par une \aleur constante arbitraire. On aura donc, dans ce cas , une solution particulière. Ce que nous disons de y })eut s'appliquer à x,
439. Il arrive quelquefois que la valeur de c se présente sous la f4orme - : cela indique un facteur commun qu'il faut faire disparaître. (iVb^e XIV.)
440. Appliquons maintenant cette théorie à la recherche des solutions particulières , lorsque l'intégrale complète est donnée.
Soit l'équation
(171) yàx — .rdj = fl\/dx'-f-dj%
dont l'intégrale complète se détermine par le moyen suivant :
Si l'on divise cette équation par djp, et que l'on fasse
— = p, on obtient d'abord
(172) j — /?^ = /i^ IH-/?';
diiïérentiant par rapport à a: et à p, on a
apàp
A y — pàx — xd/? =
observant que dy =2 pdx^ celte équation se réduit à
, apdp
xdp 4"-}= = o,
et l'on y satisfait eh faisant d^ = o. Cette hypothèse donne p = constante = c , valeur qui , étant mise daiis Téquation (172), nous fait obtenir |
(173) y — ex =,a V I -f- c'.
Cette équation renfermant une constante arbitraire c , qu n'était pas^ dans la proposée (171), en est donc riniégrale complète.
A^\, Cela posé, la partie qdc de Téquation (169) s'obtiendra en différentiant Téquation (173) par rapport à 0, regardé comme seule variable 5 en opérant ainsi , on aura
, acdc
xacA — = o;
par conséquent, le coefficient de de, égalé à zéro, nous donnera
ac
Pour dégager la valeur de c , élevons cette équation au carré , nous trouverons
(l -f- c') j:' =r fl'c';
d'où nous tirerons 1
, i^c'-^ et v^i-hc' =
au moyen de cette dernière équation , éliminant le radical de l'équation (174)5 nous obtiendrons ensuite
sja^ — x^
(*) Nous n'avons pas affecté y^i -4- c' du double signe, parce que x ei i étant de signes contraires dans Téquation (174 )> ^ faut qu'il en soit de même dans l'équation (175).
SOUITIOHS PAIITIC. DES ÉQUATIONS DIFFÉREKT. 335
li: valeur rt celli' (le v'i -f- c* éjanl misi-s (tans Tt-qua-
1 ('73), nous aurons
(.'qualûm qui, i^taiit élevée au carré, nous donnera
et l'on voil que cette équation est edectivemcnt ujic
solution particulière; car, en la diflereuliatit, ou obtirnt
il V^ ; cetie valeur change l'équation (171) eu
yix
réduisant aux mêmes dénominateurs, et en vertu de l'équation (176}, remplaçant jj'+x' par o', on obtîeiil
442. Dans l'application que nous venons de donuer des principes démontrés art, 437, nous avons déterminé la
valeur de c en égalant à zéro le coefficient diffëremiel -—■
Ce procédé peut être quelquefois insuffisant. En effet, l'équation
dj-=:pàx + qdc,
étant mise sous cette forme ;
Adx + Bdj + Cdc = o, où A, B et C sont des fonctions de x et de j, nous eu tirerons ' Nj A, C, j B. Cj
et nous, voyons que si tout ce que nous avons dit de y^ considéré comme fonction de x, est appliqué à x considéré comme fonction de r? la valeur du coefficient de de ne sera pas la même, et qu'il suffirait seulement que quelque facteur de 6 détruisit dans G un autre facteur que celui que pourrait y détruire un facteur de A , pour que les valeurs du coefficient de de, dans les deux hypothèses, parussent entièrement différentes. Aussi, quoique bien souvent les
équations - = o et -- = o donnent pour c la même valeur,
cela n'arrive pas toujours. C'est pourquoi lorsqu'on aura déterminé e au moyen de l'équation -7^ = 0, il ne sera pas
inutile de voir si l'hypothèse de -=— amène le même résultat.
443. Clairaut remarqua le premier une classe générale d'équations susceptibles d'une solution particulière 5 ces équations sont renfermées dans la suivante :
équation que nous pourrons représenter par
{178) yzrzpx^Yp-,
différentiant, nous trouverons
d/7 cette équation , à cause de dj = pàx^ se réduit à
xap -f-— i-d/? = o;
et comme àp est facteur commun, elle peut s'écrire ainsi :
INTÉGR. DES ÉQtlàT. DIFFÉR. DU 2** ORDRE. 337
Oû salisfail à cette é({uation en faisant d/^ = o, ce qui donne p = constante = c\ par conséquent, eu substituant cette valeur dans Téquation (178), nous trouverons
y z=z ex -\-' F c ;
cette équation esl rintégrale complète de la proposée, puisqu'une constante arbitraire c a été introduite par IMntégration. Si l'on différentie cette équation par rapport à c, on aura
par conséquent, en égalant, à zéro le coeflScient de de, on a
l'équation
dFV
jr, -f^-^— ~ o,
qui , par la substitution de c dans rintégrale complète, donnera la solution particulière. (Note XV.)
