Enfin, lorsque j^ est donné en fonction de y^ il
s'agit d'intégrer l'équation
d^'"~ Pour y parvenir, on la multipliera par adj^, ce qui donnera
le premier membre étant composé comme la diiTéréntielIc
DES ÉQUATIONS LIMÉAIKES. 34 1
de X*, on trouvera, en intégrant,
et en tirant la racine carrée, on obtiendra
d'où l'on tirera , par une nouvelle intégration ,
V'C-^2/Yd7
Des équations linéaires.
450. Une équation différentielle entre deux variables x tiy est
,. , dr d*r d' r d"r
linéaire lorsque les expressions jr, -r— > -t~ > -r3 ' * • ? -p— ne
sont élevées, dans cette équation, qu'au premier degré : ainsi, en supposant que A, B, C, D,..., Pï^ X, soient des fonctions de x^ Téquation linéaire du /?'*'"• ordre sera
(.87) A^ + B^ + cJ'/,+DfÇ...+Nj2 = X.
dx ax^ ax^ dr"
Lorsque cette équation est du premier degré, elle se réduit à
A/-hBi^=X; ax
chassant le dénominateur, et divisant par B, on peut la mettre sous cette forme ,
d/ -f- Pjdj: = Qd:r,
et nous avons vu (art. 58tf ) que cette équation avait pour intégrale
4ttl. Lorsque le terme en X est nul dans l'équation (1B7), si un nombre n de valeurs particulières /?,'^,,r, etc., mises successivement à la place de /, ont chacune la propriété d'y satisfaire, '\\
suffira de multiplier/?, ^, r, etc., par des constantes arbitraires a , 6, <?, etc., pour conclure que l'intégrale finie complète de cette équation est
y ^=z ap -\- bp -^ cr^ etc.
La démonstration de cette proposition étant la même pour tous les degrés , nous ne considérerons que Téquatiôn
(.88) A^^.B^-.cgH-Dg=o..
En mettant successivement à la place de y les valeurs hypothétiques/?, <7, r, nous aurons
^ d r d' r ^ d^ r d.r do:' djr'
multipliant ces trois équations , la première par a , la seconde par ^ et la troisième par c, et ajoutant les résultats, on trouve
A (rt^ -+- ^7 -h <?/•) + B ( « 3^ -h è T^ H- ^ -7^
' \ djî dx ax
d'yy d^ d'
àx^ àx^ àx
Or il est évident que cette expression, qui est identiquement nulle, est la même que celle qu'on obtiendrait en faisant j=^/? -h ^^+^'"> dans réquation (i88); donc cette valeur de y satisfait à l'équation (i88), et, comme elle renferme trois constantes arbitrairesi elle est l'intégrale finie complète de l'équation (i88).
4JS2. Lorsque X n'est pas nul dans l'équation
(i8q) Ay-i-B^-hCp^-^Dp-^X,
V^^ .i\x dx' dx'
dV\ àx'J
DkS ÉQUATialVS LIAÉAlURS. 6^5
si Ton peut trouver trois valeurs particulières p^ ^, /-, qui, mises successivement à la -iilace de^, satisfassent chacune à Téquation
(iQo) Ar+Bi^-hC3^-4-D^=o,
l'intégrale finie complète de Téquation (189) sera (191) X ssap-^ bq -\- cr;
mais alors a, bj c, au lieu d'être des constantes , seront des fonctions de x, que nous apprendrons bientôt à déterminer.
455. Pour démontrer ce théorème, différentions Téquation (191) y et divisons-la par dx^ nous aurons
dj ^ dp dq dr, da db- de
dx dx dx àx dx dx dx
Disposons les indéterminées a, by Cj par trois conditions : par la
première , faisons
, . da db dc^
il restera
dy dp t dq dr
dx dx dx dx
Une nouvelle différentiation nous donnera
dV d*p , d'« d'r
, dx' dar' dx"^ dx'
^ ' ' * d« d/? d^^ d^ de dr
dx dx dx dx dx dx
Pour remplir la seconde condition , posons
, ,, dfldp d^dflf dcdr
^^^' dxdx dxdx dxdx
il restera
344 CALCL'L lîsTÉGIlAL.
différentiant encore et divisant par d x, il viendra
d^/ A^p d^g dV dad^p dbd'q de d*r
dx^ dx^ dx^ djr* d^d-r' dx dj:^ dx dx'
Pour remplir la troisième condition , nous supposerons
, ^, dflf d'p d^ d'à de d'r X
^^^ d.r dx^^dx dx^^dx dx' D
et réquation précédente deviendra
d'r d^/? . , d'<7 d'r X —^ =:û L 1| If — ^ H- c 1 •
dx' d.r' dx^ dx' D
Je dis maintenant que la valeur y = ap -\- bg -h cr satisfait à réquation (189); car, mettant dans cette équation la valeur de/, et par conséquent celles de ses coefficients différentiels, que nous venons de déterminer, et effaçant les termes en X , qui se détruisent, on trouve
A(ap-h ^<7-hcr) -hB (fl-r^4- b -j^ + c -^]
\ dx dx axj
^ ^ ^ 1 \ dx» dx» dx»/
4.14. Comme on ne sait pas si la valeur donnée à y fait détruire mutiiellement tous les termes de l'équation (196), il s'agit maintenant de démontrer que cette équation est identiquement nulle,
Pour cet effet , p, g, r satisfaisant à l'équation (190) , on a
• ^ dp ,,.d^p. ^ à^P •
dx dx' d.r*
^ dg ^d^g ^d^^
^dr ^d»r ^ d' r Ar-hB-r~-hC-p-;-f-Dj— , = 0; dx dx- • dx-'
multipliant la première de ces équations par a , la deuxième par b et la troisième par r, et ajoutant les résultats, on trouvera une
DES ÉQUATIONS Lli^fÉÀIRES. 34^
équation identiquement nulle, qui sera la même que Téqua^
tion (196).
4tfS. Pour déterminer a , byC^ les coefficients différentiels -j— ?
^ — t - — n'entrant qu'au premier degré dans les équations de
condition (192), (194) ^^ (^9^)9 nous pouvons éliminer deux de ces coefficients différentiels , et nous trouverons l'autre en fonction des expressions -p-9 -~9 etc.^, qui sont des fonctions dé x
déterminées, puisqu'on. connaît/?, q, r, etc.; nous aurons donc des équations de la forme
àa Ab de
ou
dû=:X, dx, dé>=X^dj:, dc=rX,^djc,
et en intégrant, on déterminera «, ^ et c.
Ce théorème est applicable au cas où l'équation linéaire serait d'un ordre quelconque , par conséquent l'intégration de ces équations se réduit à celle de l'équation
(197) A7-(-bJ^+cJ4.-.-1-nJ5 = o.
ax do:' d .r"
456. Lorsque Téquation linéaire de l'ordre n a des coefficients constants, il est facile d'en déterminer l'intégrale. En effet, si dans l'équation (197) on fait ^=1^^, on trouvera, en difTéren liant ^
ax dx^ dar
substituant ces valeurs dans l'équation (197), on obtiendra
(198) e«'(A-hB7W-hC/«».. .-f-N//i'»)=:o; soient m\ m", m'" y etc., les racines de Téquation
(199) A 4- B//7 -4- Cw'. . .-f- N/w''= o,
346 CALCUL IMTÉGltrAL.
Inéquation (197) sera satisfiaite par ces valeurs
et comme on a /z valeurs de 7, Tintégralè finie complète de l'équation ( 1 97 ) sera
y = ae^' -h be^"' -+■ ceT"' 4- . . . .
457. Lorsque w' = /w", el que par conséquent tes termes aé^' et hé^"' se réduisent à (o -♦- b)e"'^^ la somme « -h ^ devant être considérée comme une seule constante, TexpressioD / ne renferme plus un nombre n de constantes arbitraires. Dans ce cas, si j = e^'* satisfait à la proposée,. la valeur -7.= xef"' doit aussi y satisfaire. En effet , en différentiant cette dernière équatioD, on trouve (art. 14 et 59)
■j^ z=z xer^' m' -h er^', ~ = xe"'' ///' -f- 2 e^' m'y
T-4 = xe^'^m'^ -h 3e^'*m'\ ... ;
ax^
ces valeurs réduisent l'équation (197) à
Or, l'équation (199) ayant par hypothèse deux racines égales , on sait, par la théorie des équations, que l'expression
en renfermera une de moins que la proposée , et s'anéantira lorsqu'on fera m =z m'; d'où il suit que l'expression (200) est identiquement nulle. !^ar conséquent, l'équation (197) sera satisfaite par la valeur y = xe^'*^ et aura pour intégrale complète
458. S'il y avait trois racines égales à m, on prouverait de même que l'équation (197) serait satisfaite en faisant
Y = e^'"" -+- xe""'" -\-x' er'' ; ainsi de suite.
