Lorsque l'équatioo (199} a des racints imaginaires, si
l'une de ces racines est ^ H- X- y — 1 « l'autre sera h — k sj — i j et Ton aura, dans la valeur de y, ces deux ternies
OU
Or on sait qu'on a , en général ( voyez la Note IX) la formule
g9S—i . cos(pH- siny y^ — 1, c'~9\S—^ =r cos<p — sin^ v'*^"»
en comparant Texpression (201) à ces formules j nous pourrons remplacer
^* vCiT par cos kx -f- sin kx ^ — 1 , et
g— **•-! pg^j^ cos^j: — sinX^x si — I,
et la formule ( 20 1 ) deviendra
c** [ff cos A-a; -h a sin kx sj — 1 -f- b cos kx — c sin kx si — 1 j, expression qui peut s'écrire ainsi :
(202) «**[(fl ?+- b) coskx -f-(« — b) sin A-j:v^~i].
Quand X est nul dans l'équation (187), a, è, 0 étant des constantes arbitraires (art. 451), nous pouvons supposer a -h b =: c,
a — b = (/ \/ — I ) ; alors la partie imaginaire qui est dans l'expression (201} s'évanouira.
De Vintégralion des équations simultanées,
460. Proposons-nous maintenant d'intégrer à la fois deux ou plusieurs équations différentielles.
Soient
(203) ) àt àt
I M'r -H N' .r + F i^ H- Q' If = T'.
348 ' CALCUL IMTÉGRAL.
les équations les plus générales du premier degré entre j: et/,
d Y cijc et les coefficients différentiels -7—5 -r- ^ et dans lesquelles les coef-
dt de ^
ficients M, Ny P, etc., sont des fonctions de la variable indépendante t. On peut écrire ainsi ces équations :
(M^4-Nx)dr-+-Pd7-f-Qdx ==Tdr, (MV-h N'ar)dr -+. P'dr -h Q'dx = T'df;
si l'on multiplie la seconde par une fonction G de t, et qu'on ajoute les résultats , on obtiendra
[(M4-M'0)r-h(N-HN'Ô)x]dr4-(P-f.P'Ô)dr-i-(Q4'Q'0)dj:
* ■ =(T-|-T'G)dr;
en représentant les quantités qui sont entre les parenthèses par une seule lettre, cette équation peut s'écrire ainsi :
Hjd^ -f- Kjt dr -h Rd7 H- S dx = Td/ ;
on en tire
(204) L-+-.xjdr-f-Rfdr^--dj:j =Tdr,
équation qui sera de même forme que Téquation
( 205 ) d j -h l?jr dx = Q^dxy que nous avons intégrée art. j5Btf , si
(206) à (y -h —A z=zdjr-{- — dXy
parce qu'alors, en faisant
(207) y^^.T=iz,
l'équation (2o4) deviendra
Hzdr-f-Rd«=^Td/, ou
(208) dz=; — zdr= — dr;
et Ton voit que cette équation est de même forme que Téqua-
