INTÉGRATION DES ÉQUATIONS SIMULTANÉES

. H' T tion {2o5), piiiscjue— - et —sont des fonctions de la variable in-

dépendante i.

461 . Pour satisfaire à réquation\2o6) , il suffit que Ton ait

et en exécutant la différentiation indiquée, d*après Tart. 14, on trouvera

g dx-h-rd. — = — dj;.

Pour que cette équation soit satisfaite, il faut, en général, que

les multiplicateurs de dx soient égaux, et que, par conséquent,

le terme x,d. ■— soit nul ; c'est-à-dire que l'on ait

On remettra dans ces équations les valeurs des expressions K, H, S et R ; et ayant effectué la différetitiation indiquée, on éliminera 9 renfermé dans ces équations; et Ton aura la relation qui doit subsister entre les coefficients , pour que Téquation de condition soit satisfaite. *

46i&. Dans le cas où les cofflcients des premiers membres des équations (208) sont constants, la * différentielle d'une constante étant égale à zéro, il ne reste que la piTmière des équations ( 209) -, elle suffira pour déterminer le facteur 9, qu> alors sera constant, puisqu'il deviendra égal à une fonction de constantes r En remettant pour K, H, R, S leurs valeurs-, on a

et en faisant évanouir les dénominateurs, on voit que 9 doit être déterminé par une équation du second degré. Nommant 9' et 9" ces valeurs de 9, et supposant qu'aprt-s les avoir.substituées successivement dans l'équation (208) , les coeffici(?nts de zdi etâe ât deviennent, dans le premier cas, // et q' ; çt dans le second, p"

35o CALCIJl. IMÉGRAL.

et q'\ on aura

d a -H/?' zA t :=z q' df,

intégrant d'après la formule (io3), page 289, on trouVera

z = e-Sp' ài^j^r eSP'àidf -I- C ], z = e-fP''^'[fq'' eSP"àidt + C"].

On substituera dans ces valeurs celte de z, tirée de l'équation (209), H Ton aura deux équations en x, en / et en t.

465. Si , excepté T, T' et T", que nous regarderons toujours comme des fonctions de e, les coefficients ftf, N, P, Q, etc. , sont constants, et qu'on ait les trois équations

dj-h(Mjr 4- Nx -f. P2;)dr = T d^,

d.r 4- (M'j -f. N'x -j- P'z) d/ = T'd/, dz 4- (M'> -f. N".r -4- P"2) dt = T"dr,

on multipliera la seconde par une constante ^ , et la troisième par une autre constante Q' ; et ajoutant les résultats, on aura une équation que nous pourrons représenter par

djf = Odx -»- 0' dz -h Q (/ -4- R.r + S z) d / = Ud r.

Or, pour que cette équation soit de la forme (voyez l'art. 58IS)

il faut qu'en regardant la fonction j^ 4- R j^ 4- S z comme une seule variable y, la différentielle dy' de celte fonction soit égale à dy -|-Oda:-|-ô'dz, ce qui 'exige que l'on ait les équations de

condition

R et S n'étant que des fonctions de 0 et de 9', en vertu. des opérations précédentes, il en résulte que ces équations suffiront pour déterminer les diverses valeurs des constantes 0 et 0'.

464. Cette méthode est générale, et s'applique même aux équations différentielles des ordres supérieurs, parce que ces équations

ÉQUÀT. DIFFÉK. PARTIELLES DU I '' ORDRE. 35 1

peuvent se réduire au premier degré. Si l'on avait , par exemple^ les équations

OU plutôt

jd»7 -+- ( M/ H- N.r ) d^' -4- (P d^ -^ Q d a:) df EX T d/», '^'°^jd'x-H(M'rH-N'^>d^-^(P'dr-f-Q'dar)df=Ê:T'drS

on ferait .

(211) df = p àt/ d.r=zqdt;

et en observant que dr est constant, ces équations deviendraient

dp -f- (M/ -f-Njr-HP/?-|-Q^)df=Td/, d^4-(M'r4-N'x+P>-l-Q'^)dr = rdr;

ces deux équations, avec les équations (211), forment quatre équations du premier degré, auxquelles on peut appliquer les procédés précédents.

DBS ÉQUATIOlIft DIVFÉRBIITIELLBS PABTIBIXBS DU PRBKIBE OBDIB.

465. Une équation qui subsiste entre des coefBcients différentiels, combinés, selon le cas, avec des variables et des constantes^ est, en général, une équation diflTërentielIe partielle, ou, suivant Tancienne dénomination, est une équation aux différences {flirti elles .^ On a appelé ainsi ceâ équations , parce que la notation des coefficients différen- .tiels qu'elles renferment indique, comme nous Ta vous vu (art. 54) , que la différentialion ne peut être effectuée que partiellement, c'est-à-dire en regardant certaines variables comme constantes. Cela suppose donc que la fonction proposée ne contienne pas qu'une seule variable. Pour plus de simplicité, nous n'en admettrons d'abord que deux, et nous considérerons les équations différentielles partielles du prc-

352 calcdl intégral.

mier ordre, qui sont celles qui ne renferment qu'un ou plusieurs coefficients différentiels du premier ordre.

466. La première équation que nous commencerons à intégrer est la suivante : . • *

Si, contre notre hypothèse, z au lieu d'être fonction de deux variables x et y, ne contenait que x^ on aurait une équation 'différentielle ordinaire qui , étant intégrée, donnerait z = ax-^ C'^ mais, dans le cas présent, z étant une fonction de x et dcj^, les y renfermés dans z ont dû disparaître à la différentiation, puisqu'en différentîant par rapport kxy nous avons regardé j^ comine constant. Nous devons donc, en intégrant, conserver la même hypothèse, et suppoter que la constante arbitraire est en général une fonction de j^^ par conséquent nous aurons pour Tintégrale de l'équation proposée.

467. Cherchons encore à intégrer l'équation différentielle partielle

dx~^'

dans laquelle X est une fonction de x\ multipliant par da et intégrant, nous trouverons

468. Par exemple , si la fonction représentée par X était x* -f- a', riiitégrale serait

z= y -l-fl*a;-|-<p7.

469. Oh ne trouvera pas plus de difficulté à intégrer Téquation

i&QYJATlONS DIFFÉR. PAIlllELLES DU 1*^' OKDRIE:. 353

tH l'on aura