DES DIFFÉRENTIELLES SUCCESSIVES

donc

(26) A = --ïî—

log e

Le nombre e, dont la valeur est donnée par l'équation

e = I -h I H 1 r -t- . . . , est la base que Néper

choisît pour calculer ses Tables de logarithmes.

Comme la série i -h i H 1- . . . est assez conver-

gente, on peut se borner à prendre les douze premiers termes de cette suite , et alors on trouve que e vaut environ 2,7182818. Si nous représentons par La le logarithme de a dans le système népérien , nous aurons donc

a = (2,7182818. . .) ", ou simplement a = e " : donc

log a = log e *" et log a=ha log e 5 d'où nous tirerons

ce qui réduit l'équation (26) à A=La, et, par conséquent, l'équation (23) donne

(28) * ^ âa'z=a*àx.ha,

39. Lorsque la base quelconque a est remplacée par la base du système népérien , l'équation précédente devient

et comme, en çhangeatit a en ^ dans Téquation ( 27 ), il en résulte que he est égal à Tunité, Téquation précédente se réduit à

àe*z=e*dx.

L'équation (26) nous fournit les moyens de trouver le développement de e*. En effet , lorsque a = e, l'équation ( 26) se réduit à

substituant cette valeur de A dans Téquation (25), et changeant a

a8 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

en c, on obtient

DES DIFFÉRENTIELLES LOGARITHMIQUES-

40. Soit X le logarithme de y dans le système dont la base est a; on a y = «', et l'équation (aa) nous donne dj- =: A a* do: ; d'où l'on lire

j^ dj^ __ dx d/ log g A a* loga ^ a' loga ' log e

et comme a' = j^ et j: = log/, l'équation précédente devient

(3o) éAo^y = ^pI.

Dans le cas où Ton prend les logarithmes dans le système

népérien, la base a devient le nombre e (art. 38) 5 parcon-

, loae loe e , i • j 1 d r

sequent, on a , ^ = . ^ = i : donc alors d.ioff r =

^ ' log« log g ' °*^ /

DES DIFFÉRENTIELLES DES SINUS t COSINUS ET AUTRES LIGNES TRIGONO- MÉTRIQUES, OU DES DIFFÉRENTIELLES DES FONCTIONS CIRCULAIRES.

41 . L'arc est plus grand que le sinus et plus petit que la tangente.

Pour le démontrer, soit AB (fig. 2) un arc qui a BE pour sinus et DA pour tangente, et prenons l'arc AB' égal à l'arc AB. En considérant la corde BB' comme une ligne droite, on en tire la conséquence qu'elle est plus courte que l'arc BAB'. Donc la droite BE, moitié de la corde BB', est plus courte que l'arc BA , moitié de l'arc BAB'; d'où il résulte que le sinus est moindre que l'arc.

Pour démontrer que la tangente est plus grande que l'arc, nous avons

aire du triangle DD' C ^ aire c(u secteur BAB'C^