Il résulte de ce qui précède que la limite du rapport du
sinus à l'arc est l'uni té 5 car, lorsque l'arc A représenté par AB
devient nul, le sinus se confondant avec la tangente, à plus
forte raison le sinus se confond. avec l'arc qui est compris
entre la tangente et le sinus; par conséquent on a , dans le
, , , . . sin h 1 A sin h
cas de la limite, r? ou plutôt — p- = i .
arc A * h
43. Pour trouver la différentielle du sinus dont l'arc est x, supposons donc que cet arc reçoive un accroissement h ; nous savons , par la Trigonométrie , que
( 3 1 ) sin (.r 4- A ) = sin j; ces h -h sin h cos x.
Retranchant de celte fonction son état primitif, et divisant par l'accroissement A delà variable, nous aurons
sin (x -4- A ) — sin x sin x cos h -f- sin h cos .r — sin x - -
Rassemblant entre des parenthèses les termes qui sont multipliés par sin x dans le deuxième membre , on trouvera
sin (a: «4- A) — sinj? sinar(cos — 1) sin A cos or
Quand h devient o, cos A — i devient aussi nul, et
• z se réduit à — Il convient donc de mettre ce terme
sous une autre forme : pour cela l'équation cos'/i -t- sin*A = i
3o CALCUL DIFFÉRENTIEL.
me donne
cos'A— i = — sin*A ou (cosA — i) (cosA 4- i) = -— sin'//,
d'où je tire
sin'A cos // — I == —
ces A -f- 1
Substituant cette valeur dans Téquation (Sa), cette équation devient J
,^^, sin (a: -f- /<) — sin 0? sin h sin /* sin A
(33) — ^^ r^ =— sinj: 1— j— -h cosar — — .
^ ' A cos A -H 1 A A
Dans le cas de A = o, l'arc et le sinus se confondent, c'està-dire qu'on a — — = i ; d'un autre côté, cos A = i ; donc
sin A o |,^ . ,^«. ,, . .d.sino:
:= -= o, et 1 équation (33) se réduit a — 1 — = cosx ;
cos A -H I 2 * ^ ' ax
d'où Ton déduit d. sin x = do: cos x.
4"4. Dans cette démonstration, le rayon des Tables a été pris pour unité ; mais si Ton voulait la différentielle d'un sinus dont le rayon serait a, au lieu d'employer l'équation (3i), on se servirait de celle-ci :
, ^ , . . , , ^ sinor cos A H- sin A cos .r
(34) sm(a:-f-A)= •
Dans le résultat précédent, il faudrait donc restituer la
. , . , . àx cos^r ,
constante a, ce qui donnerait d.sin x = pour la
différentielle du sinus d'un arc dont le rayon est a.
41$. On peut parvenir à la différentielle de sin x par des considérations géométriques; car soient AB {Jig. 3) l'arc a:; BM, l'arc A|; la perpendiculaire BP sera donc sin jt , et la perpendiculaire MQ sera sin [x -f- A). Cela posé, plus l'arc BM = A diminue, plus l'angle MBC tend à devenir droit; par conséquent, dans le cas de la limite, on peut considérer Tangle MBG comme droit; alors le
DIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS CIRCULAIRES. 3l
triangle MBD devient semblable au triangle BGP, puisque dans cette circonstance ces triangles ont leurs côtés perpendiculaires; d'où il suit qu'on a la proportion
BC:CP :: bm: md,
ou
rlcosx:: BM : sin ( j? -h h) — sin a? ; donc
sin (x -f- /r ) — sin ar cos x
BM ""'"re-
passant à la limite et observant que^ dans ce cas, la corde BM peut être remplacée par Tare BM = h , Téquatîon précédente de-
d • sin X cos X viendra — ^j = » et en prenant le rayon égal à Tunité,
d . sin x = dx cos j:.
46. Pour trouver la différentielle de cosj:, l'équation sin'x-f- cos'a: = i ou plutôt (sma:)*-h- (cosa')'= i, étant diflerentîée (art. 18), donne
2sinjed.sinx -f- acosxd cosj: = o;
d'où Ton lire
, sin X d . sin x
d . cos X = •
cosx
Mettant pour d. sin x sa valeur do: cos a: (art. 43), et réduisant, on a
d . cos X =. — dx sin JT.
47. On obtient la différentielle de tangx en considérant quetangx = ^; differentiant cette équation par Tar-^
COSw
licle 16, on trouve
cos.rd.sinar — sinxd.cosx
d . tang X 3Er ^
° cos^x
mettant les valeurs de d.sino: et de d.cosjr, on aura
/cos'j: -+-sin'.r\ ,
d,tSLni'x= :; I iix;
*" * cos'^
donc
d . taog X = — — î puisque cos' x 4- sm' a? = i .
cos-'o:
48- On sait , par la Trigonométrie, que le rayon est une moyenne proportionnelle entre la tangente et la co tangente, et entre le cosinus et la sécante, ce qui donne
cot X z=i 9 sec X =
tang X ces x
En différentiant la première de ces équations (art. 16), on
trouve d.cot
d.tangjT dx d.r
tang^ X ces' a: tang' x sin'x '
car de Téquation — = tang on lire cos.tang = sin.
