X XY

daH — ^dr=o, ndr -h ^ed-c = o;

a az

supprimant - comme facteur commun dans la première de

ces équations, et multipliant Fune par 2Z et l'autre par 2 , on trouvera

— 22d« -h 2 j^d/ = o, 2«d/ -h 2 jrdj? = o,

équations qui ont pour intégrales

/' — 2' et 7.ay -^ ,t} ;

ces valeurs étant mises à la place de U (art. 480) et de V (art. 481) , on aura

484. Remarquons que la première des équations (226) n'est autre chose que le résultat de l'élimination de à.x entre les équations (221).

En général , on peut éliminer toute variable renfermée dans les coefficients M et Jf, et, en un mot, combiner d'une

3 6 2 CALCUL IJiïÉGftlÀL.

iiiaiiière quelconque ces équations : si, après avoir exécuté res opérations, on obtient deux intégrales représentées par U = a et par V = i, a et & étant deux constantes arbitraires , on en pourra toujours conclure que l'intégrale est U =. 4> V. En effet, puisque aei b sont deux constantes arbitraires, ayant pris b à volonté, on peut composer a en i d'une manière quelconque 5 ce qui revient à dire que Ton a la faculté de prendre pour a une fonction arbitraire de b : cette condition sera exprimée par l'équation à = 4> J {Note XVI); par conséquent, nous aurons les équations U == 4>è, V = i, dans lesquelles x^ y et z représentent les mêmes coordonnées ; si l'on élimine b entre ces équations, on obtiendra U = 4> V.

On peut encore observer que cette équation nous dit qu'en faisant V = fe, on doit avoir U = 4> è = constante : c'est-à-dire que U et V sont constants en même temps, sans que a et b dépendent l'un de l'autre, puisque la fonction ^ est arbitraire. Or, c'est précisément la condition qiii nous est donnée par les équations U = a et V = i.