L'équation ( 240) ne nous disant donc autre chose
si ce n'est que toutes les sections parallèles au plan des x^ /, sont des cercles , il s'ensuit que la loi suivant laquelle les rayons de ces sections doivent s'augmenter, n'est pas comprise dans Téquation (^4^)9 ^^ q^^? P^i* conséquent, toute surface de révolution satisfera au problème 5 car on sait que dans ces sortes de surfaces, les sections parallèles au plan des x, y sont toujours des cercles, et il n'est pas besoin de dire que la génératrice quî, dans une révolution, décrit la surface, peut être uneicourbe discontinue, discontiguë, régulière ou irrégulière*
500. Cherchons donc la surface pour laquelle cette génératrice serait une parabole AN (Jig' 95 ) , et supposons que, dans cette hypothèse, la surface soit coupée par un plan AB, qui passerait par l'axe des Z'^ la trace de ce plan sur celui des a? 5 y sera une droite AL qui, menée par T origine, aura pour équation j^ = ax ] si nous représentons par t l'hypoténuse AQ du triangle rectangle APQ, construit sur le plan des x, y^ nous aurons
mais t étant l'abscisse AQ de la parabole AN, dont Ç^M. =r z est l'ordonnée, nous avons, par la natiu^e de cette courbe,
mettant pour f} sa valeur j?* -h j^*, il nous viendra
et en faisant y («* -K i) :^ m, nous obtiendrons
de aorte que la condition prescrite dans l'hypothèse où la génératrice doit être une parabole, est que Ton doive avoir
z == mx' lorsque y = ax.
FONCTIONS ARBITRAIRES DU l**^ ORDRE. 3^3
501 . Cherchons maintenant à déterminer, au moyen de ces conditions, la fonction arbitraire qui entre dans l'équalion (240). Pour cet eflet, nous représenterons par U la quantité x' -i-j* qui esl affectée du signe (f , et l'équation (240) deviendra
et nous aurons les trois équations
Ail moyen des deux premières, nous éliminerons j^, et nous obtiendrons la valeur de x' qui , étant mise dans la troisième , nous donnera
équation qui se réduit à
.=lv.
parce qu'on a vu que nous avions supposé -r [à* -f- 1) = wj
. la valeur de z étant substituée dans Téquation (241)9 la changera en
mettant la valeur de U dans cette équation, nous trouve-
rons
et Ton voit que la fonction est déterminée ; substituant cette valeur de <p(^*-l-7') dans Féquation (240), nous aurons pour l'intégrale cherchée,
équation qui jouit de la propriété requise, puisque l'hy-
376 CALCBL r«TÉGRAL.
àejr^ ce cjui donnera lieu à. une suite d'intégrations qui introduiront chacune une fonction arbitraire dans Tintégrale.
S09. Après les équations que nous venons de considérer, l'une des plus faciles à intégrer est celle-ci :
par P et par Q nous désignons toujours deux fonctions de x et de y. Faisons
nous transformerons cette équation en
Pour intégrer, nous regarderons x comme constant, et alors cette équation ne renfermera que deux variables y et w, et. sera de même forme que T équation
(244) d j -h P/dx = Qdx,
traitée art. 385, et dont l'intégrale, page 289, est
(45) r = e--^^"[fqe^'""d. + c];
comparant donc les équations (243) et (244) > nous aurons
substituant ces valeurs dans la formule (246), et cbangeant C en fX, nous obtiendrons
mettant cette valeur de u dans Téquation (242), multi* pliant par dj^, et intégrant, on trouvera
ËQOjLIIOHS DIFFÉR. PARTIELLES DV 3* ORDRE. $77
51(X Oa ÎDtégrerait parle même moyen les équations
dans lesquelles P et Q représentent des fonctions de x; et, à cause du diviseur dxd^, on seut que la valeur de z ne renfermerait pas des fonctions arbitraires de la même variable.
SU. Proposons- Dous encora* d'intégrer l'équation
Pour cela, Dous remarquerons d'abord que j étant une fonction -de a: et de (, sa diflérentîelle doit être représentée par
et en faisant
on change l'équation (24?) ^n
(248)' dx=pd3: + i/At,
et la proposée en
L'équation (248) étant une différentielle exacte, on aura (art. 4(K)
et connue /> et 9 sont des fondions de ;k et de t, leurs différent ( ') Cetu àquaiion ni celle du bmeui problème dei vurdei vibnnlet-
378 CALCUL iMtÉGRàL.
tielles seront
(250 (h? = -j^dx-f. -j^d/,
(262) do = -r-^d^-h -r^ d/,
^ dj: dr
mettant dans l'équation (252) les valeurs de j— et de -p?
données par les équations (249) et (25o), cette équation {252) deviendra
(253) dq = ^dx-ha'i^dt, .
' ^ df • dd?
Représentant par des mêmes lettres les quantités communes aux équations (25i) et (253), ces équations pourront s'écrire ainsi:
(254) dp = mdx -h ndt^
(255) d^ = /ida: 4-«*ywdr.
Multipliant la première de ces équations par et, et l'ajoutant à Tautre, on trouvera
adp -H dq = (am 4- n) dx -h a {am -h «) df ,
équation qui, à cause du facteur commun 9 peut s'écrire ainsi:
adp -^ dq = [am -h/?)(da:-t-ûdf),
ou plutôt de la sorte
(256) ûd/î -h d^ =={«/w -j- «)4(^ 4-fl^)'
Retranchant ensuite Péquation (255) de l'équation (254)9 multipliée par /i, on trouvera, par une opération analogue à la précédente ,
(257) adp — dq:=z{am — n) (dx — adt),
(258) adp — dq =z [am — n)d[x — at),
ISi2. Or, si l'on remarque que quand on difiPérentie une fonction dez, b différentielle doit être de foi'me/«.d«(*), on con-
( * ) .2 pourrait n'entrer qn'à la puissance de zéro , cas où fs se réduirait à une constante.
EQUATIONS DIFFéHt PARTIELLES DU 2^ ORDRE. 3^9
dura que dans l'équation (^56)^ où h différentielle, au. Heu d'être z, est x -f- ot^ on doit avoir
De même, en désignant par F' la caractéristique d'une autre fonction , on tirera de l'équation ( 258 )
am — n -zriF' {x-^ at); ce qui changera les équations (256) et (258) en
(259) at\p + dq = F (x -^^ àt) d (x -+-ûf), et en
(260) a dp — dq = F'{x — at)d(x — at);
et corome Tintégrale d'une expression de la fornieyi.dz est une antre fonction de z^ nous aurons en intégrant les équations (25g ) et (260), et en représentant par /et par/' les caractéristiques de deux fonctions différentes ,
\ap-q=^f[x--at),
I(i5. Ajoutant les équations (261), pour éliminer ^, elles- nous
donnent
7,àp =/(j: -h at) -\r f* {x — at)\
retranchant les équations (261) l'une de l'autre pour éliminer^, on aura
7,q^f[x-^at) — /'(jT — at)',
divisant l'un de ces résultats par 2 a, et l'autre par 2, les valeurs de/^ et de q sont ainsi déterminées :
f{x-\-at)-^f'Xx — at)
rs: ■ ' ■ — — — — ,
la
__ f{x -4- at) ^f [x — at) ^ q — . •
meitant ces valeurs dans l'équation (248), nous obtiendrons
^^^^f^x-^al)-^f(x-^at)^^^ ^ f{x.-^at)^f'[x^at) ^^^^^
2rt
38o CALCUL tJVTÉGRAL.
et en multipliant les deux termes de ià seconde fraction par a , pour lui donner le dénominateur de Tautre fraction , nous aurons
fia ia
rassemblant les termes qui ont pour facteur^ (j:-+-a/), et ceux qui ont pour facteury(a: — û/), -on trouvera
, __^f{x-^at) [à X -^ 4iàt) '\- f (x ^ at) {Ax^aàt)
équation qui revient à
, I f{x -^ Ht) A [36 -^ at) I f'(x — a/)d(j? — at) 2 a 2 a
et nous fondant sur la même raison qui nous a fait parvenir (art. tf 18) à la première intégration^ nous trouverons, en désignant par 7 et par \)i les caractéristiques de deux fonctions différentes ,-
^ I y (g? + fl;r) , i^jx — at)^
et si Ton observe que le dénominateur a peut^tre compris dans la fonction, on aura enfin
(262) y -r^ -fsf[x -\- at)'-\--'^{x — at),
DES FONCnOlIft ARBITRAIRES QCI ElITRENT DANS LES INTÉGRALES 1>ES ÉQIJATIOHS DIFFÉRENTIELLES PARTIELLES DU SECOND ORDRE.
514. Les équations différentielles partielles du second ordre conduisent à des intégrales qui renferment deux fonctions arbitraires; la détermination de ces fonctions revient à faire passer la surface par deux courbes qui peuvent être discontinues et discontiguës. Pour en donner un exiemple, prenons l'équation
dont l'intégrale (art. 504) est
(263) 5 = j:(pj + 4//..
FONCTIOECS ARBITRAIRES DU a' ORDRE. 38 1
Soient Aar, Ky el kz {fig* 96) les axes coordonnés; si Ton mène un plan KL parallèlement à celui des x, 2^ la section de la surface, par ce plan, sera une ligne droite; car, pour tous les points de cette section y y étant égal à A p, si nous représentons A/^par une constante c, les fonctions y y et ^y deviendront 9 c et (|/c, et par conséquent pourront être remplacées par deux constantes a et i; de sorte que Féquation ( 268 ) deviendra
( 264 ) z:= ax -{- by '
et sera celle de la section faite par le plan KL.
515. Pour connaître le point où cette section rencontre le plan des j', z, faisons x===:o\ l'équation (263) nous donne, dans cette hypothèse,
ce qui nous indique une courbe amb tracée sur le plan desj^, z, 11 nous serait facile de démontrer, comme dans l'art. 492, que la section rencontre la courbe amb en un point m; et comme celte section est une ligne droite, il ne s'agit, pour en déterminer la position, que de trouver un second point par lequel passe cette ligne. Pour cet effet , observons que lorsque x est égal à zéro, l'équation (263) se rédoit à
tandis que lorsque x est égal à l'unité , la même équation se réduit à .
faisant, comme précédemment, y=zAp = c^ ces deux valeurs de z deviennent
z z=: ôy z = a -h by
et déterminent deux points m et r pris sur la même section mr que nous avons vue être en lîgne droite. Pour construire
