CALCU^L lUTéGRAL, ETC

ces points,' on opérera de la manière suivante : on tracera arbitrairefûent surle plan desy, z la courbe ûfm&^ ei par le point p, où le plan sécant KL rencontre l'axe des y, on élèvera Ut perpendiculaire pm ^=z i, qui sera une ordonnée à la courbe; on prendra ensuite à l'intersection HL du plan sécant et de celui des or, j^, la partie pp- égale à l'unité, et par le point p' on mènera un plan parallèle à celui desj^, 2, et dans ce plan on construira la courbe a*m'V ^, sur le modèle de la courbe amh , et de manière qu'elle soit semblablement disposée; alors l'ordonnée m! p' sera égale à mp\ et si Ton prolonge m! p^ d'une quantité arbitraire w'r, qui représentera a, on déterminera le point r de la section.

Si Ton prolonge ensuite , par le même procédé , toutes les ordonnées de la courbe. a' m' b\ on construira une nouvelle courbe a' /&' qui sera telle , qu'en menant par cette courbe et par amb un plan parallèle à celui des x, ^ , les deux points où les courbes seront rencontrées appartiendront à la même section de la surface.

Il suit de ce qui précède , que la surface peut être construite, en faisant mouvoir la droite mr, de manière qu'elle touche continuellement les deux courbes amb^ a' rb' .

516. Cet exemple suffit pour faire entrevoir comment la détermination des fonctions arbitraires, qui complètent les intégrales des équations différentielles partielles du second ordre, revient à faire passer la surface par deux courbes qui, ainsi que les fonctions arbitraires qui servent à les construire, peuvent être discontinues,, discontigûes, régulières oui rrégulières.

CALCUL

- ^ .. T : 6V ÇALeiJL SIRÈÇX DES DIFFÉRENCES.

517. La différence d^uné ifonctioTi variable est raccroissèment ou la dîmitiution que cette fonction reçoit lorsqu'elle passe d'un certain état de grandeur à un autre.

Cette différence s'indique par le caractère grec A , placé devant la fonction variable. Par exemple, lorsque la fonction jr =: x^ devient y' par un accroissement h donné à la variable a:, on a •

y — ^ = 2 .rÀ -h /*' , ou

En général, si x se changeant en a: -h /?, la fonction ^ de X devient^', le théorème de Taylor nous donne, pour le développement de j^, une suite de cette forme,

y =7-+- A A -hBA'-+-C/i3-hD/2*. . . ,

et Ton voit que la différence de la fonction sera exprimée

par

r'— J <^" Aj = A// -H B/i'4- C/i^+ . . . ,

tandis que la différenlielle ne se composera (art. 13) que du premier terme de cette différence, dans lequel on changera raccroissement de h en dx.

ol8. Par la même raison que nous plaçons la caractéristique A devant ^, pour indiquer raccroissement positif ou négatif de cette fonction , nous indiquerons par ^oc

3;6 CALCUL

dey, ce <{ui donnera lieu à ' troduiront chacune une fon-