Enfin, si Ton se proposait de déterminer la différence
de la fraction -9 on aurait
z ^ ÛL z
et, par conséquent,
/^jr ou Aj==— ------^
z -\- Az z
et en réduisant au même dénominateur, on trouverait, après avoir supprimé les termes qui se détruisent ,
z Au — u àz
•^ z{z-Jhàz) •
Quand les différences sont infiniment petites, Az s'évanouit au dénominateur, Ay, ùu et Az se changent en dj^, en d M et en dz , et la formule précédente se réduit à
zdu — u dz
dr =
ce qui est conforme à la règle établie (art. 14) pour trouver la différentielle d'une fraction.
525. Dans le calcul différentiel ^ on considère des ^différentielles de divers ordres. Une semblable division a lien dans le calcul des différences : ainsi , eu regardant Ao:, Ay^ Az^ etc., comme les différences premières de j:, de y^ de Zj etc., ces fonctions auront A*jî, A^y. A'^, etc., pour différences secondes , et A^x , A' j^, A^z , etc. , pour différences troisièmes •, ainsi de suite.
526. La différence seconde d'une fonction représentée par y =fx n'étant autre chose que la différence de la différence, on pourra regarder M' Q {fig* 97) comme une ordonnée, dont l'abscisse comptée de l'origine M serait MQ = Ax -, par conséquent , si MQ reçoit un accroissement QR, r abscisse MR correspondra à l'ordonnée M"R; et la différence M'' S, qui existe entre M'^R et M'Q , sera la différence de M'Q ou la différence seconde de MP; et, comme QR équivaut à P'P'', nous avons donc ici deux sortes d'accroissements à considérer, savoir : PP' que nous avons appelé Ax , et P' P'' que nous désignerons momen-
tanément par h. Si nous regardons maintenant les ordonnées comme des fonctions des abscisses correspondantes, nous aurons évidemmeqt, diaprés Finspection de la/i^, 97^
M'Q = M'P'— MP, ou ,
(3) Aj = ç (.r-+- Ax) — (px;
et ensuite
M" S = M" P' ~ M' P', ou
(4) A'/ = T(.r -h A.r-H A) — y(j: -f- Ax).
Or il peut arriver deux cas : ou la différence P'P' = /i sera égale à PP'=: A x, ou elle ne le sera pas. Dans le premier cas , l'équation (4) deviendra
(5) A*/= y (a: -4- 2 Ax) — <p (.r -f- A j;)*,
et Ton voit qu'elle se déduit de l'équation ( 3 ) , en regardant Ao: comme une quantité constante , et en changeant x en X -{- ùkX\ mais dans l'hypothèse où h différera de A j:, nous indiquerons cette différence , qui pourra être positive ou négative, par Ù?X\ en sorte que nous aurons
h = ùix 4- A' or,
ce qui changera Téquation (4) ^i^
^6) A'yrr: y (x-J- 2 Ax-t- A'x) — (p(x ■+ Ax);
et Ton voit que, dans le second cas^ la valeur de A'j^ se déduira de celle de Aj^ [équation (3 ) ] , en changeant
Ax en Ax-f- A'x, et x en x + Ax«
S27, Par exemple, si l'on voulait avoir la différence seconde de la fonction j^ =3 0?', dans laquelle on supposerait AjC constant , on trouverait d'abord
(7) Aj = 2 X Ax -+- A.r';
390 CALCUL DES DIFFÉaRlfCBS.
et en changeant seulement x en x+ Aa:, on obtiendrait ensuite
(8) A»/=2{a?-f- A.r) Aar-H Ajt'— (2 x A.r -|- Ajt')"; faisant la réduction, il resterait
(9) A'j = 2Aar'.
528. Si au contraire on regardait Ax comme une quantité variable, l'équation (7), au lieu de donner Téquation (8) , amènerait celle-ci ,
A^j=2(j:-t- Aj:)(A.r -f- A* a») -H (A a: -f- A'jp)' — {2x A.r-h A«'), et, en réduisant, donnerait •(ïo) A*j = 2 A.r*-f- (2.1Î+ 4^^)^*^ 4- (^*'*)'-
5â9. Par des considérations analogues , on prouverait de même qu'en donnant Taccroissement A' a: à A'x, on devrait, dans cette liypothèse, changer x en x-f- Ax, Ar en Ax-f- A'x, et A'x en A*x-t- A'xdansla fonction (lo), pour obtenir la valeur de A'j^, ainsi de suite.
530. Quant au choix de Tune des hypothèses que nous avons considérées, il n^est pas douteux que lorsque rien ne s'y oppose, il vaut toi^ours mieux faire accroître x par des différences égales^ aussi est-ce l'hypothèse que l'on choisit ordinairement. Cependant il peut arriver qu'il oc dépende pas de notre choix de donner des valeurs constantes à Ax. Par exemple , si x et j^ étaient des fonctions d'une troisième variable «, et queroneûtx = <ptetj^=^^, on sent que l'accroissement Ax de x dépendrait, comme celui de j, de Taccroissement A f , et ainsi , n'étant plus arbitraire, ne pourrait être supposé constant.
53t. Si nous remplaçons maintenant par h la différence Ax que nous avons prise pour constante, et que nous cherchions les différences successives d'ime fonction y = x* ,
« CALCUL DIRECT DBS DIFPÉRBHCKS. Spl
nous trou¥erons
A^ = 3 x^A -f- 3 xh^ -h A%
A3j-= 6 (^ -h A) A»— 6 xA» = 6 AS
et l'on voit que dans cet exemple , comme dans tout autre semblable d'une fonction rationnelle, les exposants de h diminuant successivement d'une unité, les différences qu'on déduit ainsi les unes des autres doivent diminuer, et finir par devenir nulles.
532. Par exemple, si l'on écrit d^ns une ligne horizontale la suite des nombres triangulaires , et que Ton place au-dessous leurs différences successives , comme cela est indiqué ici :
i, 3, 6, lo, i5, 21, 28, etc.,
2, 3, 4, 5, 6, 7, etc.,
1, I, 1, I, I, eic . ,1
o, Q, o, o, etc. y
on verra qu'à la quatrième ligne seulement les différences finissent par être nulles.
