Prenons maintenant une suite de termes

(n) «, flfi, «2, ^3, tf«, . . ., any

qui aient pour premières différences ,

(12) . A, il, Aa, A3, A«,..., Aa,

pour secondes différences ,

pour troisièmes différences ,

ainsi de suite.

ig2 CAI.G12I. DBS' DIFfÉRBirCES.

On en déduira

bf^b:=:Cf bt — ^i=.r, , b^^-^btsze^f ^4— ^3=03, . • ., f/i — rf=tf, rfj — rfi = ^|, 1/3 — dj^z e2f d^ — r/3=e3, .«.,

On tirera de la première colonne de ces équations ,

(16) a|î=: fl -♦- ^, è, == ^ -h c, Ci^:sC'hdf €/, = c + rf,...; de la seconde colonne,

(17) a2= Ot-^ biy ^»=i, -+-r,, ^2= C| -+-£/,,.. .; de la troisième colonne ,

ainsi de suite.

534. Cherchons maintenant à exprimer les différents termes des suites (11) et (12) en fonctions des quantités a, b, c, dy etc. Pour cet effet, nous avons d^ abord, parles premières des équations (16) ,

nous trouverons ensuite la valeur de ^i en substituant celles de ^1 et de bi , dans la première deséqoAlions (17} , ce qui nous donnera

d'un autre c6té, nous trouverons à l'aide des équations (17) et (16)

^i= bt-h Ci=: b^ c ^ c -^ dzrz b-h 2C^d, C2^=zCi-{~di-=:zc-{-d^e-^dz=zc-^-'2d-{-ej

substituant les valeurs de a^ et de b^ dans celle de a^ , nous obtiendrons

CALCUL OIKBCT DES DIFFÉABZICEd . SpS

On trouvera de même

En conÛBuant ainsi, on trouvera encore

(i8) fl4 = « + 4^ '*"6c-f-4^ + ^>

(19) ft, = ô + 4r -^6r/ + 4é?-h/;

et en général,

21) ^„=fc-H-cH^-^ 'd-+:^ i^ ^e-b....

535. Cette série s'arrête si l'on tombe sur des difTérences constantes dans l'une des lignes horizontales des équations (i5). Par exemple, si Ton avait

qu'on substituât^ ces valeurs dans les équations (i5), les premiers membres de celles qui composent la seconde ligne se réduiraient a zéro , ce qui donnerait

0 = 0} C| = o, dzrrOj C3=:0)...j

ces valeurs de c, de c\, de Cs, etc., feraient à leur tour évanouir les premiers membres des équations de la troi-^ sième ligne, d'où il résulterait

d:=:z Oj r/| =r o y d^zrz o^ ^3 = 0,...;

et en continuant ainsi , on voit que les équations des lignes suivantes comprises dans les etc., se réduiraient à zéro.

536. L'équation ( 20) , dans laquelle rentre celle qui est comprise sous le n® 21, n'ayant été trouvée que par analogie, il s'agit maintenant d*en prouver la légitimité.

Or, quand n = 4> les équations (ao) et (ai) deviennent

3^4 CALCUL DES DIFFÉREHCES;

les équations (i8) «1(19) (*) , et comme celles-ci soot démonlrét's, voilà donc une valeur de n pour laquelle les équations (20) et (ai) se vérifient; mais nous ne savons pas si, en augmentant n d'une unité, les valeurs de a„ et de &I, se composeront d'une manière analogue, et si, par conséquent, les équations (20) et (21) subsisteront encore; autrement ce serai t conclure du particulier au général \ tout ce que nous pouvons admettre, c'est. que la démonstration ayant eu lieu pour le cas où n = 4? ^ est du moins constaté que dans une certaine hypothèse» de n (celle de 4)9 1^ ^^~ leurs a„ et b^ se forment suivant la loi qui est indiquée par les équations (20) et (21); démontrons que si Ton augmente n d'une unité et que l'on obtienne par conséquent

la valeur a^^x ^^ sera point absurde.

Pour cela , nous partirons de ce point que , puisque nous regardons les équations (26) et (21), qui ont lieu pour

(*) Pour concevoir par quelle raison Téquation (30) d'un nombre illimité de tenues se réduit aux cinq termes de l'équation (18), soient M, N,

nAvn<<. 1 i.. ,^ n n{n — i^Firn*— i)(»^-Q^

P, Q, R, S, etc., les facteurs successifs -» — ^ \ -i ^-^5 -y etc.,

nous pourrons écrire ainsi l'équation (ao) :

'* i M (« — 0 xt(» — 2) , «(« — 3) rt('^— 4) ^

a =a-h-&H-M'^ ^cH-N^ — 5— ''«l-hP^ — ; — ^e-f-Q^^ — r^ f

et Ton voit que, dans l'hypothèse de n == 4» le facteur — r--^ devient nul ,

ce qui fait évanouir tous les termes de la seconde ligne , c'est-à-dire tous ceux qui sont compris depuis le rang 4 + 2 : car les secondes parties des quantités renfermées entre les parenthèses étant successivement 1,2,3,4» il est évident que le nombre donné 4 indique le rang à partir du deuxième terme, ou le rang 4-^-2 à partir du premier. Cette observation peut s'appliquer à toute autre hypothèse de w.

une hypothèse de n , comme légitimes , nous obtiendrons uo résultat qui sera encore exempt d'erreur, si nous ajou<tons ensemble ces équations : en opérant ainsi , nous trouverons

Réduisant et mettant a^^i à la place de a„ •+- &n 9 comme on en a le droit en vertu des équations (i 7) , il reste

23) g,^, = tf-f-(«4-i)^-h^ ^ c4-^ ^—^ 'd-^.^y

équation démontrée exacte , et qui, étant la même que Véquation (22) , prouve que celle-ci est vraie. .

Il suit donc de là que puisque l'équation (20) subsiste pour l'indice n = 4^ l'équation (aa) , qui a lieiî pour l'indice n -f- 1 = 5 , sera vraie encore. Faisant ensuite n = 5 , l'équation (20) sera donc vraie pour cet indice, et par conséquent l'équation (22) prouvera qu'il en sera de même de l'indice /i + i*= 6. En continuant ainsi, on prouvera que Téquation (20) aura lieu en augmentant successivement l'indice depuis la valeur 4 jusqu'à une valeur quelconque /i.

537. Maintenant, puisque b est la différence des deux premiers ternies de la suite (11), l'accroissement de a qu'on désigne par A a sera donc égal à & ^ ce que nous disons de b pouvant s'appliquer à c , à ^, à e, etc., à l'égard des termes dont ces lettres désignent les accroissements , on a évidem* ment

^(24) 6 = Âtfy cznxàb, dszàCj > = A£/,...;

éliminant b de la seconde de ces équations (24) 9 au moyen de la première I, on aura

396 CALCUL DES DIFFÉREMCES.

mettant cette valeur dans la troisième des équations (24)1 nous trouverons

cette valeur substituée dans la quatrième des équations (24). on obtiendra

ainsi de suite.

Substituant ces valeurs de c, de </, de e, etc., dans Téquation ( 20) , cette équation deviendra

(25) tf„=a4--Afl-4--^ -^A»a4--^ — -^ A»tf ,

Telle est formule de Newton.

538. Si Ton prend pour la suite a, a^ ai, as> • • •) a'ny les ordonnées pm^ p'^vl^ jJ^m[\ etc., d'une courbe AM {Jig. 98), et que la première et la dernière de ces ordonnées soient désignées par jr et par y', noua aurons donc

Substituant ces valeurs dans l'équation (a5), nous obtiendrons

Supposons maintenant que Taccroissement hz=, pV {fié' 9^)) <lonné à l'abscisse Ap, soit partagé enn parties p/t/, p'^', p'V''^» ^^^'9 égales chacune à ù^x\ comme le nombre de ces parties sera exprimé par n , nous aurons

d où l'on tirera

CALCUL DIRECT DES DIFFÉRENCES. ip^

Au moyen de cette valeur, Féquation (26) deviendra

y =y 4- — - Aj H i i. b}y

réduisant les quantités qui sont entre les parenthèses au même dénominateur, et mettant les A x sous les A^, nous obtiendrons

/ Q. I Aa: * I . 2 A .r'

A(A— Aj:)(A — 2Ajr) à'y