Aj
Quant les ordonnées sont infiniment proches les unes des autres, Ax, qui exprime la distance de Tune à Tautre, devient une quantité infiniment petite qui s'évanouit (art. 230) (levant la quantité finie A, représentée par pP {fig^gS))
alors les rapports ■— » —-y -~7 etc., se réduisent aux
àx ^x^ Ax^
d^' dP' d^' *'*^" "*'* *^'-
coeflScients différentiels "^ "^ "^ mule (28) devient
dor d.x' 1 .2 do:^ 2.3
c'est ainsi que le calcul des difTérences nous conduit au théorème de Taylor, dont on reconnaît ici la formule.
539« Dans la démonstration précédente, nous avons partagé Taccroissement^P {fig* 98) en un certain nombre de parties égales , et nous avons pris pour A.r Tune de ces parties; on pourrait au contraire nommer A x ^accroissement/^P, et regarder Axeonime composé d'un nombre n
de parties égales chacune à une quantité constante A. Si Ton adopte cette seconde hypothèse, on aura
j;' — X on bix=.nh^ d'où nous tirerons •
substituant cette valeur dans l'équation (26) , nous obtiendrons, après avoir réduit les quantités qui sont entre parenthèses au même dénominateur,
tkX àx (Aj:— ^ h) ^,
I Hx (àx — h)(Ax — 2^) ,,
et en prenant A pour unité, Téquation (3i) deviendra
y z=z y ~\- ^x Ay -^^ 6.x- ts^y
Aa?(Ax — i)(A* — 2)., ^ ' ' i A^ j.
Cette équation peut se mettre sous une autre forme; car l'hypothèse de A = 1 réduit l'équation (3o) à Ax = /î. Cette valeur de Ax change l'équation (32) en
, n(n — 1) , y = r4-/?AjH--i ^A'j
ce qui nous fait retomber sur l'équation (26).
540. Remarquons que ce que nous appelons Ay, dans la formule (3i), n'est pas la même chose que y — /, car Ay exprime là différence m'nf [fig» 98) qui existe entre les deux ordonnées consécutives mp et nJp* \ tandis quej^' — y est la différence MN qui se trouve entre MP =/' etmp=j^.
CALCUL DIRECT DES DIFFÉRENCES. igg
541. Pour donner une application de la formule (33) , cherchons Fordonnée qui répond à l'indice n dans la suite
(34} 5} 9, i5, 23y 33, etc.;
comparant cette suite à celle-ci :
a^ Gxy ^2, ^3, 174, etc.;
Cl désignant le premier terme par y, nous avons
^y ou 6=:fl, r— fl=9 — 5= 4»
b^oxxoi — izt = iS — 9= 6, b^ovL a^ — 02 = 23 — 1 5 = 8 , b^oxxai — ^3 = 33 — 23 =: lo ,
à}f ou tf 2= 6, — ^ = 2,
^^X ou ^ = c, — € = o ;
toutes les autres différences sont également nulles.
Par conséquent Téquî^tion (33) se réduit à ces premiers termes
(35) y = 7 + n.^yz=ln ' A'j;
mettant dans cette équation la valeur 5 du premier terme j^ et celles de û^y et de A'y, elle devient
valeur qui se réduit à
Cette formule donnera le moyen de déterminer le terme de la suite (34)? qui répond à T indice /i. Par conséquent,
4oO GiLGVL DBS DIFFÉRENCES.
si Ton donne successivement à n ces valeurs
Oy •% y 2, 3, 4l ^9 ^' ^tC- >
et qu'on les mette dans la formule (36), on retrouvera tous les termes de la suite (34)*
542. Une formule qui, comme la formule (36), détermine tous les termes d'une suite, à commencer par la valeur n = o , en est appelée le terme général. Soit donc cette suite de termes
(37) a, fli, «2, «3) <«4>«--j ««, correspondant aux indices *
il est visible que a„ sera le terme général de la suite (37); car un terme quelconque de cette suite, a^ par exemple, s'obtient en donnant à n la valeur particulière 4- Le premier terme a équivaut donc à â^o ) ce qui ne signifie autre chose, si ce n'est que a n'a point d'indice. A Tégard de a„, Tindice de ce terme indique le nombre de ceux qui le précèdent^ car en comptant les termes de la suite (37), à partir seulement de a^ inclusivement, ce nombre de termes sera exprimé par n^ et par conséquent deviendra w 4- i , si nous y réunissons a. D'où il suit que le nombre total des termes qui précèdent â„ dans la suite (37) aura n pour expression.
Cette observation repose entièrement sur ce que la première des valeurs qu'on substitue à n , pour obtenir tous les termes de la série, doit être zéro.
Ainsi ce que nous appellerons le terme général de la suite des nombres naturels
(38) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, etc.,
ne sera pas n , parce que , bien qu'on obtienne tous lo>
termes de cette suite en faisant successivement
/i =3 ly /i = a, nzzz3f etc., nous ne commençons point par n =3 o.
543. On voit que, d'après cette définition, le terme général de la suite (38) sera n + i . De même, en cherchant les termes généraux des suites
qui sont celles des nombres carrés et des nombres cubes ,
on a
(/? -f- i)% terme générai de la suite des carrés,
{n ■+- 1)^, terme général de ta suite des cubes.
544. Si Ton demandait le terme général de la suite des nombres -tri angulaires {*), qui est
(39.) I, 3, 6, 10, i5, 21, 28, 36, etc.,
en écrivant au-dessous
f4o) a, A,, 0}, 173, Otj tf», «a, rf,, ûj, etc. ,
nous aurions
^X ou b =: a^ — a = 3 — 1 = 2, ^, ou a, — «,;=: 6 — 3=3, b-iOuai — a,=: 10 — 6 = 4^ bi ou «4 — ' fl, =r i5 — 10 = 5,
à^y ou c=^, — ^=3 — 2 = 1, •<;,=: 65 — ; ô, = 4 "~ 3 = I ,
A^X (m d=z Oy
A*r = o> A»j^=ro, etc.,
(*) Elle s'obtient en ajoutant à TiinUé les sommés des deux , des trois , des quatre premiers termes, etc., de la suite (38) des nombres naturels.
4o2 CALCUL DES DIFF^REMCES.
et comme les indices o, i, 2, 3^ 4? ^l^»? suivent Tordre des nombres naturels, leur diftérence est l'unité, ce qui nous donne h = i. Cette hypothèse est celle de la formule (33) ; et comme dans le cas présent nous avons, par ce qui précède, j^ = i, Ay = a, A^y=zz i, et que toutes les autres différences A'y, A^j^ etc., spnt nulles, on obtient, en mettant ces valeurs dans la formulie (33;),
réduisant les dieux derniejcs termes au même dénominateur, on trouve enfin
(4!) I -H- = terme gen, de la suite des nomo. tnang.
545. Remarquons que, dai^s le cas ou les^ ordonnées dont on connaît les valeurs sont équidis taxi tes, et où., par conséquent, on a le droit de prendre A pour unité, il est possible que n soit fractionnaire. C'est effectivement ce qui aura lieu {^fig» 99) si le point P, déterminé par l'abscisse x'=: x-^-nh^ ne tombe pas sur un des pieds p, p', p"^ etq., des ordonnées équidistahtes pw, p' nil ^ P"^"^ etc. Par exemple , si l'on prend la courbe déterminée par les termes de la série (39), dont nous construirons les trais ordonnées, en faisant [fig* 100)
pp'^p'p"z=i,
et en prenant, comme le prescrit la suite (39), "
pm=2i, p'm'=z3, p"m"=.6y
et que Ton demande quelle sera l'ordonnée correspondante
à l'indice n = i-\- -^^ on mettra cette valeur dans la for-
mule (4i)j qui ^^^ Texpression générale de l'ordonnée de la courbe proposée, et l'on trouvera
Aiusî l'ordonnée PM = 4 H — sera celle qui correspond à Tindice i-H^j ou, ce qui est la même chose, à Tabscisse
Le problème que nous venons de résoudre nous conduit à la recherche du logarithme d'un nombre qui ne se trouve pas compris dans les Tables.
546. Proposons^nous , par exemple, de déterminer le logarithme du nombre 3,718281828 qui (art. 38) sert de base au système népérien. Comme en déplaçant la virgule on ne change pas les chiffres décimaux du logarithme, nous la placerons de nianière que la partie entière du nombre proposé soit aussi grande que les Tables la puissent contenir^ et pour cela, au lieu du nombre proposé, nous écrirons 27 1,828 1638, parce que plus un nombre entier est grand, plus son logarithme est donné avec exactitude dans les Tables.
Notre recherche se réduisant ainsi à trouver lé logarithme de 271,8281828 (^), imaginons que Ion ait construit les points m, m', m", mf, m'^, etc. (fig. loi), à l'aide des coordonnées suivantes : •
kp =271, /?/?!=:= log de 271,
Kp' =272, /?'/w' = log de 272,
A/?" =273, /?"/w" = lpg de 273,
. . A/>"' = 274, p^'m"" = log de 274 ,
Af»**=:a75, />*^/îi*^= log de 275,
il est certain que si les points w, m', 1»'', etc., se succé-* dai eut immédiatement, ils constitueraient une ligne courbe ;
