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(*) Le logarithme du nombre entier (2 718 181 838; ne différant de celui de 2,7i8i$a8 que par la caractéristique , qui au lieu d'être 0 est 9 , on voit que ce logarithme se détermine par le même procédé.

4o4 CALCUL DES DIFFÉRENCES.

mais étant séparés lés uns<les autres, si Ton fait passer par c!es points une ligne mm! nrl'ni"^ etc., cette ligne pourra être regardée comme une courbe approximative BC, dont rinflexion se rapprochera beaucoup de celle de la véritable courbe. Par conséquent , si l'on mène par le point P une ordonnée PM qui aille rencontrer en M notre courbe approximative, on sent que cette ordonnée diflerera peu de rprdonnée qui appartiendrait à la véritable courbe \ et cela proviendra de l'influence que les ordonnées pmyp'm'j jjPni\ ont exercée sur l'inflexion de la courbe approximative; de sorte qu'on pourra regarder PM comme une fonction de ces ordonnées : c'est aussi la conséquence que l'on tire de la formule (33), dans laquelle l'ordonnée PM, représentée par y*^ est une fonction de y et de ses accroissements successifs. Aussi allons-nous déterminer la valeur -de PM au moyen de cette formule.

Pour cela, nous avons \fig* lol), par l'état de la question,

.r ou kp = 27 1 , j ou pm = log de 27 1 , jt' ou AP=:ar-+-Aa: = 271,8281828,

ce qui nous donne

et il s'agit de déterminer j^'.

Cela posé, les abscisses Kp^Kp\ A;?", Ayt;"', etc., étant représentées 'par les nombres 271, 272, 273, 274, etc., on voit que la différence de l'une à l'autre est égale à l'unité : nous avons donc, dans' le cas présent, A=:i; pai* conséquent nous emploierons la formule (32) pour la solution du problème; et, puisque nous connaissons A a:, et le premier terme y, nous n'avons plus besoin que de connaître Aj^, ù?y^ ù?y^ etc. Pour obtenir ces différences, posant d'abord, comme dans l'art. 533, la suite

«, «t, «a, £7,, r/4, etc. ,

uùiis aurons, pour dëtermiiier ces valeurs,

a =:logde27i =2.4329692909, /?i = log de 272 = 2.4345689040, rt, = log de 273 = a . 4361626470 , rt, = log de 274 = 2,4377506628 , «4 = log de 275 = 2 4393326938,

ou déduira de là

Aj ou h ou a, — a z=. 6,ooi5996i3i ,

bx ou «j — «, = 0,0015937430,

/vj ou M3 — r/j = 0,0015879158,

^3 ou «4 — aj = 0,001 5821 3 10,

A'/ ou c ou ô, — ^ = — 0,0000068701 ,

c, ou ^, — ô, = — 0,0000058272,

Cj ou ^j — ^, = — 0,0000067848,

A^/ ou d ou, c, — c = — 0,0000000429*

Formant d'abord le terme ùkX ù^y^ nous trouverons

(42) AxA^= (0,8281828) (0,0015996) = 0,00132476.

La valeur de Ar qui compose le premier facteur n^e^t

qu'approximative, puisque noiis avons négligé les chiffres

décimaux qui passent le septième rang, comme on peut le

voir par cette valeur plus approchée de la base du système

népérien

il suit de là que le premier facteur de la valeur de ùx Ay n'est exact que quand on se borne aux sept premiers chiffres décimaux. Les deux zéros du second facteur de Texpression (42) reculent la virgule de deux rangs dans le produit^ ce qui donnerait neuf chiffres décimaux; mais à cause des retenues, ne pou\ani compter sur l'exactitude

4o6 CALGUL DES DIFFÉRENCES.

du dernier chiffre, nous n'en prendrous que huit^ et comme la fraction décimale qui est la valeur de Ax est moindre que l'unité, nous remplacerons Ax — i par — (i — ûo:), et nous trouverons

(Ajj— i) (i — àx) i , ^..

^X' -y og -t-Aj: i = — (0,071 134204)-

Multipliant celte valeur par celle de A'^, qui est aussi négative,.nous obtiendrons ce produit positif

Nous ne tiendrons pas compte des termes en A*j^, en A*y, etc., parce qu'en considérant seulement le premier,

qui est

(Ax— i) (Ao: — a) ,, ■^^—^ — 3 '^•^'

nous voyons que la valeur de ce terme n'a aucun chiffre significatif dans les huit premières décimales 5 à plus forte raison en doit-il être de même des termes en A*j^, en A'j^, etc. 5 qui sont moindres. De sorte que la valeur de ,y ne dépend que des huit premières décimales de celle de Ax.

Nous aurons donc, en résumé,

jr- • «143296929

àyàx. 0,00182476

£iX^ i 0,00Q0004l

log de 27 1 ,8281828 = 2 ,43429446

Diminuant la caractéristique de deux unités, on conclura que le logarithme de

e == 2,718281828, est 0,4342944 (*)•

{*} Dans rhypothé^e qui nous a fait trouver ce logarithme, nous regardons l'ordonnée comme le logarithme de Tabscisse ; mais dans les art. 58 1

CA^LCLU; iNVEBâE DES DIFFÉRENCES. 4^7

Nous ne "prenons qne sept décimales dans la vâleui* du logarithme, parce qu'on ne petit compter sur la huilièrùe, qui, quoique exacte dans chacun des nombres que nous additionnons, peut se trouver fautive dans leur somme, à cause des retenues qui pourraient provenir des chiffres négligés à partir de la neuvième décimale.

DU CALCITt IHVERSE DEÀ DtîP'FieRSIlCBS.

547. Le calcul inverse des diflPérences a pour but de remonter de la différence à la quantité qui Fa produite. Cette opération, qu'on appelle intégration^ s'indique par la caractéristique S, qui signifie somme.

Par exemple, étant donnée la différence Ajc, supposée constante^ il est évident qu'on aura ,

548. On peut mettre cette équation sous une autre forme, si l'on cotisidère que l'unité y entrai^t comtrib facteur, peut être remplacée par x^\ on aura donc

2â Uk X • X ■! I I X •

59» 40 et 198, nous supposions au contraire que Tabscisse était le logarithme* de t^ordonnée , en partant de l'équation

y =:a* =. a^^, ou « = logr ; au lieu de cette, équationf , nous aurions » dans le cas actuel ,

a: = &^ = & "^^ ou ^ = loga:j ce qui nous conduirait à

diogr = — !^.

*^' * log&

Cette équation appartiendrait à une logarithmique aussi bien que celle-ci :

,, ày loge

dlogj'» — --S-; •

y logû

mais dans cette dernière , l'abBcisse devenant rordohnée el; l'ordonnée TaUscisse, It courbe n'aurait pas la même position.

4o8 CALCUL DE6 DliTFÉREMCjBS.

et alors ob pourra faire passer la constante AjC en dehors du signe d'intégration , ce qui donnera

et , par conséquent ,

(43) îx. = ^.